Kurvendiskussionen - Seite 2

04.11.2012, 19:45

Tipso

Ich muss auch genau erfahren was überhaupt diese Dinge bedeuten:

3. n.B. 1. Ableitung = 0
h.B. 2. Ableitung != 0

4. n.B. 2. Ableitung =0
h.B. 3. Ableitung != 0

n.B = nach Bildung.

h.B = ?

h.B. 2. Ableitung != 0; das Rufezeichen?

lg

04.11.2012, 19:49

Equester

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n.B. = Nebenbedingung
h.B.= Hauptbedingung.

Was das bedeutet hatte ich dir oben hingeschrieben (in Formeln). Falls du das gerade nicht
einordnen kannst, schlage es nach Augenzwinkern

.

Da man das "Nicht-Gleich" nicht so einfach schreiben kann (ohne Latex) schreibt man es als != Augenzwinkern

.
$\begin{eqnarray*} != ~\to~\neq \end{eqnarray*}$

04.11.2012, 19:55

Tipso

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$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

Habe hier vorher die 16 hineinmultipliziert.

$\begin{eqnarray*} y = -1*16x^3 - 48x^2 - 144x - 80 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = -1*48x^2 - 96x - 144 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = -1*96x - 96 \end{eqnarray*}$

Nun

$\begin{eqnarray*} 0 = -1*48x^2 - 96x - 144 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -1*96x - 96 \end{eqnarray*}$

Weiß aber nicht wie ich diese erhalte? Die Ergebnisse meine ich.

lg

Ps.
Ich wäre auch dafür wenn du das zu Ende führst @Equester.[/quote]

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{16}x^3... \end{eqnarray*}$
das hier gemacht:
16x^3...
Das passt nicht!

Ich habe die 16 in die klammer hineinmultipliziert. Müsste so richtig sein?

Ansonsten würde es heißen:

$\begin{eqnarray*} y = -1*(16x^3 - 48x^2 - 144x - 80) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = -1(48x^2 - 96x - 144 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = -1*(96x - 96 ) \end{eqnarray*}$

Nun

$\begin{eqnarray*} 0 = -1*(48x^2 - 96x - 144) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -1*(96x - 96 ) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} y = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(2x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(4x - 6) \end{eqnarray*}$

Nun

$\begin{eqnarray*} 0 = \left(\frac{-1}{16} \right) *(2x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \left(\frac{-1}{16} \right) *(4x - 6) \end{eqnarray*}$

lg

04.11.2012, 19:58

Equester

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Das obere ist falsch. Warum machst du aus einem Nenner einen Zähler?

Das untere ist hingegen (fast) richtig Freude

.
Beachte, dass die Ableitung von x³ 3x² lautet Augenzwinkern

04.11.2012, 20:09

Tipso

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Ich habe die 16 hineinmultipliziert?? hmm

oder

$\begin{eqnarray*} y = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

Nun

$\begin{eqnarray*} 0 = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

lg[/quote]

Wie geht es weiter?
Was erhalte ich?

04.11.2012, 20:11

Tipso

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[quote]Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} y = -1*x^3/16 - 3x^2/16 - 9x/16 - 5/16 \end{eqnarray*}$

Achso

04.11.2012, 20:12

Equester

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Ja, das ist richtig. Du hast die 16 reinmultipliziert. Wo kommt die 16 aber her?
Wir haben doch 1/16! Augenzwinkern

Deine Ableitungen stimmen nun.

$\begin{eqnarray*} 0 = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9) \end{eqnarray*}$

Da würde ich gleich mit 16 mulitplizieren:
$\begin{eqnarray*} 0 =-(3x^2 - 6x - 9) \end{eqnarray*}$

Kannst du es dann lösen? Du kennst sicher die pq-Formel. Was muss gemacht werden, dass
du diese anwenden kannst? Augenzwinkern

04.11.2012, 20:18

Tipso

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$\begin{eqnarray*} 0 = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9) \end{eqnarray*}$

Da würde ich gleich mit 16 mulitplizieren:
$\begin{eqnarray*} 0 =-(3x^2 - 6x - 9) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 =-3x^2 + 6x + 9) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich diese einsetzen?
p = das vor dem x
q = 9

Davor muss ich aber mit 3 dividieren und *-1, wel vor dem x^2 nichts stehen darf und es positiv sein muss. Beim letzteren bin ich mir nicht ganz sicher.

lg

04.11.2012, 20:29

Equester

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Es ist genau wie du sagst. Du musst erst mit 3 dividieren und dann mit -1 multiplizieren.
Erst dann bestimmst du p und q Freude

04.11.2012, 20:37

Tipso

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Nur um es nochmals festzuhalten, vor dem x^2 darf nichts stehen, weder ein negatives Vorzeichen noch eine Zahl.

$\begin{eqnarray*} 0 =-(3x^2 - 6x - 9) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 =-3x^2 + 6x + 9) \end{eqnarray*}$ /*-1/3

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 - 2x -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p = -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = -1 \end{eqnarray*}$

Ps.

Bin um 10 Uhr offline und dann erst wieder um 23 30 bzw. Morgen ab 10 Uhr online.

04.11.2012, 20:40

Equester

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Beachtet man das fehlende Quadrat nicht, passt der Rest im vorigen Beitrag smile

.

Ja geht in Ordnung. Ich bin wahrscheinlich gegen Mitternacht auf dem Weg ins Bett, aber morgen
zur etwa gleichen Zeit wieder da Augenzwinkern

04.11.2012, 20:45

Tipso

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Habe es geaddet.

Das sind nun meine 2 Extrempunkte.
Warum sind dies meine Extrp.?

Warum erhalte ich diese auf diese Art?

nächster und letzter Punkt für heute.

Wendepunkte:

4. n.B. 2. Ableitung =0
h.B. 3. Ableitung != 0

04.11.2012, 20:49

Equester

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Halt. Wir sind mit 3. noch nicht ganz fertig.

Erstmal zur Erklärung (für mehr lies bitte in einem Buch nach, wenn aber was unklar ist, frage
natürlich nach):

Die erste Ableitung gibt die Steigung in einem Punkt an. Wir haben einen Extrempunkt, wenn
die Steigung 0 ist. Nämlich dann kommt der Graph von einer Richtung und verschwindet wieder
in der gleichen Richtung, d.h. dieser Punkt ist der höchste Punkt in einer Umgebung (oder niedrigste).
Es gibt allerdings eine Ausnahme: Der Sattelpunkt (dazu aber ein andermal mehr).

Wie gesagt, wir sind nicht ganz fertig. Wir müssen nicht nur die Extremstellen bestimmen,
also den x-Wert, sondern wir brauchen auch den y-Wert um den Punkt vollständig
angeben zu können.
Selbst das reicht nicht aus. Wir müssen unsere "Stellen" noch in die zweite Ableitung einsetzen
und diese Untersuchen. Wir erhalten Auskunft, ob wir es mit einem Maximum oder einem Minimum
zu tun haben (oder sogar einem Sattelpunkt). Wann wir ein Maximum oder Minimum haben -> Schulbuch oder Erinnerung Augenzwinkern

04.11.2012, 20:53

Tipso

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$\begin{eqnarray*} y = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

Setze nun hier rein:

3 und - 1.

$\begin{eqnarray*} y'(3) = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(3) =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(1) = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(3) =0,75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 0,75 > 0 = Tiefpunkt \end{eqnarray*}$
Warum eigentlich?

$\begin{eqnarray*} y (1)= \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y (1)= 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T = (0,75; 1) \end{eqnarray*}$

04.11.2012, 20:57

Equester

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Du setzt die Nullstellen der ersten Ableitung nicht wieder in die erste Ableitung ein verwirrt

.
Da kommt 0 raus. Das haben wir ja gerade bestimmt.

Das kommt in die zweite Ableitung Augenzwinkern

.

Das sind auch deine x-Werte. Also deine Punkte haben da auch den ersten Eintrag mit -1 bzw. 3 und
nicht etwa mit 0.75 oder so^^.

04.11.2012, 20:59

Tipso

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Natürlich habe ich mir die Dinge durchgelesen, leider verstehe ich diese meistens nicht. Siehe Thread zu Extrempunkt wo ich vom Buch den Text aufgeschrieben habe, da er so schwer zu verstehen war.

lg

04.11.2012, 21:05

Equester

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Das was da drüben steht halte ich (für dich) eher für unnötig.
Ich wusste gar nicht, dass das "Umgebungszeugs" in der Schule gezeigt wird.
Gut, vllt angeschnitten, aber mehr nicht.

Für dich ist nicht mehr wichtig als (bei Extrempunkten):
f'(x)=0
f''(x)<0 -> Hochpunkt

oder
f'(x)=0
f''(x)>0 -> Tiefpunkt

Dazu natürlich noch ein wenig Prosa wie, dass das obige die hinreichende Bedingung ist etc.

Setze das f''(x) mal um. Also nimm den x-Wert aus der ersten Ableitung (-1 und 3) und setze
diese x'en in die zweite Ableitung ein.
Schreibe einfach das Ergebnis hin. Dann interpretieren wir das gemeinsam.

04.11.2012, 21:11

Tipso

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Vorweg, ich habe ein Treffen abgesagt um diese Aufgabe so weit wie möglich zu rechnen, da ich es zurzeit wichtiger finde dran zu bleiben als Fussball zu schauen.

$\begin{eqnarray*} y = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

Setze nun hier rein:

3 und - 1.

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(3) = - 1,125 \end{eqnarray*}$

- 1,125 < 0 = Hochpunkt.

$\begin{eqnarray*} y(3) = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(3) = 2 \end{eqnarray*}$

H(3/2)

x_2 = -1

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(-1) = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(-1) = 0,875 \end{eqnarray*}$

0,875 > 0 = Tiefpunkt.

$\begin{eqnarray*} y = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(-1) = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(-1) = 0 \end{eqnarray*}$

T(-1/0)

Warum setzen wir es in die erste bzw. zweite Ableitung ein?
Was ist der Unterschied zwischen der ersten, zweiten, dritten Ableitung?
Was hat es auf sich mit 4,3,2,1 ebene, Bsp. x^4, x^3 etc.

04.11.2012, 21:19

Tipso

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Hi,

Zitat:

Für dich ist nicht mehr wichtig als (bei Extrempunkten):
f'(x)=0
f''(x)<0 -> Hochpunkt

oder
f'(x)=0
f''(x)>0 -> Tiefpunkt

Warum ist f'(x)=0
warum 0?

lg

04.11.2012, 21:20

Equester

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Hättest du mich vorher gefragt, hätte ich dich weggeschickt um dich ein wenig ablenken zu lassen
und somit den Geist zu befreien. Aber deinen Ehrgeiz lob ich mir Freude

.
Ich hoffe ich bin mein Geld wert Big Laugh

.

Die Zahlenwerte im einzelnen habe ich jetzt nicht kontrolliert, aber die Aussage ist richtig!
Du hast richtig erkannt was ein Hoch- und was ein Tiefpunkt ist.
Die Punkte sind auch richtig benannt. Sehr gut Freude

.

Hmm der Begriff "Ebenen" kommt wohl vom Horner-Schema und ist mir nicht geläufig.
Man spricht da meist vom "Grad". Dabei wird der Name von der höchsten Potenz bestimmt.
Wir haben also einen Funktion 3ten Grades, wenn wir x³+2x haben etc Augenzwinkern

.

Die zweite Ableitung gibt die Krümmung an, was gebraucht wird, um zu sehen ob wir einen
Extrempunkt oder eine Wendestelle (also einen Sattelpunkt) vorliegen haben.

Genaueres steht aber auch in meinem Link im anderen Thread Augenzwinkern

.
Gannnnnz wichtig zu wissen ist, dass die erste Ableitung die Steigung in einem Punkt wieder gibt.
Das weitere zu wissen ist ein guter Bonus. Was die dritte Ableitung angibt weiß ich nicht mal selbst :P.

04.11.2012, 21:24

Equester

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Zitat:

Original von Tipso
Hi,

Zitat:

Für dich ist nicht mehr wichtig als (bei Extrempunkten):
f'(x)=0
f''(x)<0 -> Hochpunkt

oder
f'(x)=0
f''(x)>0 -> Tiefpunkt

Warum ist f'(x)=0
warum 0?

lg

Das bedeutet dann ja, dass wir die Steigung 0 haben. Also haben wir hier einen hohe
Wahrscheinlichkeit, dass wir hier einen Extrempunkt haben, da der Graph hier die Möglichkeit hat,
auf beiden Seiten in die gleiche Richtung zu gehen.

Nehmen wir gerade mal dieses Beispiel:
Wie du siehst haben wir hier einen Scheitelpunkt, was auch gleichzeitig das Minimum ist.
Wenn du da jetzt die Steigung anschaust, legst du da ja eine Tangente rein. Dieses ist
parallel zur x-Achse hat also die Steigung 0. Deswegen ist dieser Wert 0 so wichtig.
Was man weiterhin sieht ist, dass von "links oben" der Graph kommt und nach "rechts oben"
verschwindet. Es gibt also keinen Wert der kleiner ist als der im Scheitelpunkt -> Minimum.

Ein bisschen klarer geworden? :P

04.11.2012, 21:26

Tipso

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Im Slang sagt unser Lehrer manchmal auch Ebene aber ansonsten Grad.
Also in den verschiedenen Graden werden verschiedene Dinge wiedergegeben.

In der 1. Ableitung die Steigung eines Punktes. smile

04.11.2012, 21:29

Equester

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Yup

04.11.2012, 21:38

Tipso

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Ja, ich verstehe was du meinst.

Aber eine hohe Wahrscheinlichkeit sagt das es Ausnahmen gibt.

Zitat:

Es gibt also keinen Wert der kleiner ist als der im Scheitelpunkt -> Minimum.

Was sagt das mir?

Nächster Punkt:

Wendepunkte:
n.B. 2. Ableitung =0
h.B. 3. Ableitung != 0

Plan

2. Ableitung nullsetzen und PQ Formel anwenden.
Ergebnis in die Anfangsgleichung einsetzen.

Warum erhalte ich eigentlich mit der PQ-Formel Ergebnisse bzw. was berechnet dies mir von meiner Gleichung?

$\begin{eqnarray*} y = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(0) = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe auch nicht ganz was es bedeutet y''(0) also wir setzen die 2 Ableitung null. Demnach würde ich für alle x-Werte null einsetzen und diese berechnen, stattdessen setze ich die PQ-Formel ein.

$\begin{eqnarray*} y''(0) = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(0) = \frac{-8x}{16} - \frac{6}{16} \end{eqnarray*}$

Hier kann ich diese aber nicht einsetzen, da es sich nicht um eine quadratische Formel handelt.

Ich weiß aber dass x = -0,75 da -8 * -0,75 = 6.

04.11.2012, 21:52

Equester

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Die Ausnahme ist der von mir angesprochene Sattelpunkt.
Ein Spezialfall des Wendepunkts. Aber das ist eine Geschichte für ein andermal Augenzwinkern

.

Was dir das "Minimum" sagt? Das kann man so allgemein nicht beantworten.
Es ist ein besonderer Punkt, der je nach Textaufgabe etwas anderes aussagen kann Augenzwinkern

.

Yup, die 2te Ableitung 0 zu setzen ist eine sehr gute Idee! Augenzwinkern

Warum du aber unbedingt die pq-Formel ins Feld führst?
Du hast aber ja dann erkannt, dass diese hier nicht anzuwenden ist.
Dein Ergebnis ist richtig................allerdings habe ich verschlafen, dass deine Ableitung falsch ist:
2*3x=6x und nicht 8x.

(Damit ist auch deine Berechnung von vorher falsch, wo ich die Werte nicht ausgerechnet hatte.
Also da, wo wir bestimmt hatten, ob y''> oder < 0 ist um eine Aussage über Hoch- und Tiefpunkt zu machen.
Das ist nicht weiters wichtig, da die Werte nicht gebraucht werden, aber damit du Bescheid weißt.
Sry für mein Verschlafen).

Wir haben also:
$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

Also x=1 Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} y''(0) = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$
Das bedeutet, dass du alle x'en durch 0 ersetzt. Das ist aber nicht was wir wollen.
Wir wollen wissen was x sein muss, das y=0 ist! Augenzwinkern

04.11.2012, 22:00

Tipso

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04.11.2012, 22:04

Tipso

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Zitat:

Wir haben also:
$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$

Also x=1 Augenzwinkern

Diesen Teil verstehe ich noch nicht ganz:

Also beim ersten setzen wir für x = 1 ein und erhalten

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 0 \end{eqnarray*}$

Das wäre nun eine Wendetangente?
Wo finde ich die zweite Wendetangente?
Weil ich ja immer x_1 und x_2 habe, oder zumindest öfters.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y''(0) = \left(\frac{-1}{16} \right) *(8x - 6) \end{eqnarray*}$
Das bedeutet, dass du alle x'en durch 0 ersetzt. Das ist aber nicht was wir wollen.
Wir wollen wissen was x sein muss, das y=0 ist! Augenzwinkern

[/QUOTE]

Das machen wir aber öfters in unserer Aufgabe und erhalten dabei unser y-Wert bei x=0?

lg

04.11.2012, 22:05

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} y = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(0) = \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(0) = \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(0) = \frac{-6x}{16} - \frac{6}{16} \end{eqnarray*}$

Soweit sollte es nun passen. x)

Demnach ist x= -1

Edit: Hatte einen Fehler beim hineinmultiplizieren von -1/16.
x= 1

da:
$\begin{eqnarray*} y''(0) = \frac{-6x}{16} + \frac{6}{16} \end{eqnarray*}$

04.11.2012, 22:06

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht y''(0), sondern y''(x).

Also gerade dies:
$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) =0 \end{eqnarray*}$

Ich würde auch dabei bleiben. Du brauchst das Produkt doch nicht auseinanderziehen.
Multipliziere direkt mit 16 Augenzwinkern

-> 6x-6=0

So einfach! Big Laugh

04.11.2012, 22:08

Equester

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Zum letzten Beitrag. Überprüfe das nochmals mit dem -1 Augenzwinkern

.
Beachte die Klammersetzung!

Edit: Ah du hasts gesehen und es passt oder?

Zum zweiten Beitrag.
Beenden wir erst die Bestimmung des Wendepunktes und kommen dann zur Wendetangente Augenzwinkern

04.11.2012, 22:09

Equester

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Wenn du nun deine Wendestelle hast, musst du mit der 3ten Ableitung erst mal sicher gehen,
dass es wirklich eine Wendestelle ist.

Dann in die Funktion einsetzen (deinen x-Wert) und W(1|?) bestimmen Augenzwinkern

04.11.2012, 22:24

Tipso

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Zitat:

Original von Equester
Nicht y''(0), sondern y''(x).

Also gerade dies:
$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) =0 \end{eqnarray*}$

Ich würde auch dabei bleiben. Du brauchst das Produkt doch nicht auseinanderziehen.
Multipliziere direkt mit 16 Augenzwinkern

-> 6x-6=0

So einfach! Big Laugh

Multipliziere mit 16

6*16 x - 6 * -1

- 6*16 + 6 = 6x-6

verstehe

Zitat:

Wenn du nun deine Wendestelle hast, musst du mit der 3ten Ableitung erst mal sicher gehen,
dass es wirklich eine Wendestelle ist.

Zitat:

Dann in die Funktion einsetzen (deinen x-Wert) und W(1|?) bestimmen

Ich setze es in die Anfangsgleichung:
$\begin{eqnarray*} y(1) = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(1) = 0,875 \end{eqnarray*}$

W(1/0,875)

Hier stellt sich mir die Frage, warum ich bei manchen Beispielen eine und bei anderen mehrere Wendepunkte habe?

5. Steigung am zuvor berechneten Punkt durch die 1. Ableitung berechnen. und dann mit dem Punkt zusammen in die Grundgleichung einer Geraden einsetzen(Punkte sind nur beispielhafte Werte):

$\begin{eqnarray*} t(x)= mb+b \\ P(2|4) \\ m=2 \\ 4=2*2+b \\ \Rightarrow b = 0 \\ \Rightarrow t(x)= 2x \end{eqnarray*}$

W(1/0,875)

Was ich hier nicht verstehe:
$\begin{eqnarray*} t(x)= mb+b \end{eqnarray*}$

Verstehe diese Gleichung nicht.
Desweiteren, was bedeutet:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow t(x)= 2x \end{eqnarray*}$

Warum ist wenn m= 2
k und x = 2 und nicht nur x.

Mein Ziel ist es ja d auszurechnen?

04.11.2012, 22:27

Tipso

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y = k * x + d

w(1/0,875)

Edit:

d = 0,7656

04.11.2012, 22:32

Equester

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5. machen wir später. Bzw. vllt sogar morgen :P.
Erst mal den Wendepunkt sauber abschließen! Den brauchen wir ohnehin für 5. Augenzwinkern

Zitat:

Multipliziere mit 16

6*16 x - 6 * -1

- 6*16 + 6 = 6x-6

Das passt aber nicht. Ganz davon abgesehen, dass das keine Gleichung mehr ist:

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) =0|~*16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x-6=0 \end{eqnarray*}$

Ok? Augenzwinkern

Davon hast du noch nie gehört? Dass man das in die dritte Ableitung einsetzt?
Das ist wieder diese notwendige und hinreichende Bedinung von der wir es vorher hatten.
Die hinreichende Bedingung verlangt ein f''(x)=0 und ein f'''(x)!=0.

Das setze übrigens auch nochmals in die Ausgangsgleichung ein, den Wert x=1.
Da haste dich verrechnet Augenzwinkern

. 0.875 passt nicht.

Es kommt auf den Grad an. Eine Funktion dritten Grades kann maximal eine Wendestelle haben.
Das siehst du ja an der zweiten Ableitung. So viele Nullstellen diese haben kann, so viele
Wendestellen kann die ursprüngliche Gleichung haben Augenzwinkern

04.11.2012, 22:44

Tipso

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Zitat:

Multipliziere mit 16

6*16 x - 6 * -1

- 6*16 + 6 = 6x-6

Das passt aber nicht. Ganz davon abgesehen, dass das keine Gleichung mehr ist:

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) =0|~*16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x-6=0 \end{eqnarray*}$

Ok? Augenzwinkern

Habe auch nicht gewusst das es eine Gleichung mit = 0 ist. ..

(6*16 x - 6 *16)* -1

6*16 + 6*16

so richtig hoffentlich, ich weiß das es mit der Aufgabe nichts mehr zu tun hat.

Zitat:

Warum diese Bedingung?
Was sagt diese Bedingung den aus?

Wengep.

Ich setze es in die Anfangsgleichung:
$\begin{eqnarray*} y(1) = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(1) = 1 \end{eqnarray*}$

W(1/1)

Zitat:

Das setze übrigens auch nochmals in die Ausgangsgleichung ein, den Wert x=1.
Da haste dich verrechnet Augenzwinkern

. 0.875 passt nicht.

Habe ich ja getan oder meinst du jetzt nochmal?

Zitat:

Es kommt auf den Grad an. Eine Funktion dritten Grades kann maximal eine Wendestelle haben.
Das siehst du ja an der zweiten Ableitung. So viele Nullstellen diese haben kann, so viele
Wendestellen kann die ursprüngliche Gleichung haben Augenzwinkern

Eine Funktion zweiten Grades also hat keine..

04.11.2012, 22:45

Tipso

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04.11.2012, 22:52

Equester

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Yup, das passt nun Freude

.

$\begin{eqnarray*} y'''(x) = \left(\frac{-1}{16} \right) *6 \end{eqnarray*}$

Das ist die dritte Ableitung und hier ersetzen wir alle x'en durch unsere 1 und schauen ob wir
einen Wert ungleich 0 rausbekommen.
Da hier kein x ist, ist das nicht weiter schwierig -> Wir haben einen Wendepunkt bei W(1|1).

Klar?

Dann kommen wir nun zur Wendetangente Augenzwinkern

.

----------------------------------

Zitat:

Habe auch nicht gewusst das es eine Gleichung mit = 0 ist. ..

(6*16 x - 6 *16)* -1

6*16 + 6*16

so richtig hoffentlich, ich weiß das es mit der Aufgabe nichts mehr zu tun hat.

Das hättest du aber wissen sollen :P.
Die Umformung passt übrigens immer noch nicht. Wo ist das x?
Das Vorzeichen des ersten Summanden wurde nicht geändert!

Zitat:

Eine Funktion zweiten Grades also hat keine..

-> Yup genau Freude

Zitat:

Warum diese Bedingung?
Was sagt diese Bedingung den aus?

Das lies bei Brinkmann nach (soweit es dort steht). Dem Link im anderen Thread Augenzwinkern

04.11.2012, 23:03

Tipso

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Zitat:

Original von Equester[/i]
Yup, das passt nun Freude

Warum passt alles wenn wir kein x haben??

Zitat:

Habe auch nicht gewusst das es eine Gleichung mit = 0 ist. ..

(6*16 x - 6 *16)* -1

6*16 + 6*16

so richtig hoffentlich, ich weiß das es mit der Aufgabe nichts mehr zu tun hat.

Das hättest du aber wissen sollen :P.
Die Umformung passt übrigens immer noch nicht. Wo ist das x?
Das Vorzeichen des ersten Summanden wurde nicht geändert![/QUOTE]

-6*16x + 6*16

Wendetangente:

Ich setzte zuerst den y-Wert meines Wendepunktes in die erste Ableitung und erhalte das k meiner Geraden. Das y und x habe ich ja schon.

Warum ist das so?

Nun berechne ich mittels der Geraden und den Werten y, x und k - d aus.

W(1/1)

$\begin{eqnarray*} y = \left(\frac{-1}{16} \right) (x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \left(\frac{-1}{16} \right) *(6x - 6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''' = \left(\frac{-1}{16} \right) *6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k= y' (1)= \left(\frac{-1}{16} \right) *(3x^2 - 6x - 9 \end{eqnarray*}$

Warum das k ist?

$\begin{eqnarray*} k= 0,75 \end{eqnarray*}$

y = k * x + d

1 = 1 * 1 + d

d = 1

edit:
y = k * x + d

1 = 0,75 * 1 + d

d = 1/0,75

d = 1,33

y = 3/4x + 1

Mein Lösungsbuch sagt aber leider:

y = 3x/4 + 1/4

unglücklich

04.11.2012, 23:12

Equester

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Das passt, weil der Wert ungleich 0 ist. Egal welches x du "einsetzt" Augenzwinkern

.

Deine Umformung passt nun.

Zitat:

Ich setzte zuerst den y-Wert meines Wendepunktes in die erste Ableitung und erhalte das k meiner Geraden. Das y und x habe ich ja schon.

Nein, nicht der y-Wert wird genommen, sondern der x-Wert (was bei uns zufällig das gleiche ist).
Die erste Ableitung wird natürlich deshalb genommen, weil es uns die Steigung an diesem
Punkt angibt und die Tangente ja genau der Steigung entspricht.
Also die Steigung unseres Graphen ist die gleiche wie die Steigung der Tangenten Augenzwinkern

.

Sonst aber stimmt es eigentlich ganz gut (mit deinem "Edit"),

1 = 0,75 * 1 + d
Hier subtrahiere 0.75 Augenzwinkern

.

d=0,25=1/4

Und dann passt es mit deiner Musterlösung, oder? smile

So ich bin mich jetzt bettfertig machen und schau dann nochmals rein.
Sonst sieht man sich am Morgen Augenzwinkern

04.11.2012, 23:20

Tipso

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Passt gut. Freude

Danke für deine großartige Hilfestellung!!

Vorschau auf Morgen:

6.
Graf
7.
Monotonieverhalten
8.
krümmungsverhalten

6.
Graf

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-1}{16} * \left(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\right) \end{eqnarray*}$

Definitionsmenge: (-4, 6)

Hier ist dieser Bereich glaube ich gemeint, den ich zeichnen soll oder mindestens zeichnen soll.

Ich erstelle eine Wertetabelle für diesen Bereich und fange an zeichnen.

7.
Monotonieverhalten

definition von offenen Intervallen?
f'(x) kleiner, größer 0 steigend bzw. fallend, was wenn f'(x) = 0?

Spezialpunkte?

8.
krümmungsverhalten

Teilen in Intervalle - in welche genau? Warum?
y''(x) größer, kleiner 0 - was bei 0 ?

Gute Nacht.
Wink

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