Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen

04.11.2012, 16:47

THEMATHWONDER

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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen

Meine Frage:
Guten Tag allerseits bin neu hier im Forum und hoffe das mir Menschen, die ein wenig mehr Ahnung als ich in Mathe haben, helfen können.
Folgende Aufgabe:
Wir betrachten das Zufallsexp. zweimaliges Würfeln. Formulieren Sie einen geeignetten W-Raum als Modell und prüfen Sie, ob die Ereignisse
(a) A,B
(b) C_1,C_2,C_3
stochastisch unabhängig sind, wobei:
A:erster Wurf ergibt 6
B: die Summe aller Augenzahlen ist gleich 7.
C_1; erster Wurf ergibt eine ungerade Zahl
C_2: zweiter Wurf ergibt Augenzahl >= 4;
C_3: die Summe beider Augenzahlen ist gleich 5.

Meine Ideen:
Meine Vorüberlegungen:
Zwei Ereignisse A,B element C heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt:
P(A nn B) = P(A)*P(B)
nn steht hierbei für "geschnitten mit"
(a) also
P(A nn B) = 1/6 * 6/36 = 1/12 also rund 8,33 %
? ist das richtig so oder muss ich die Formel
P(A nn B) = P(A)*P(B) beweisen?
wie gehe ich da vor?
P(A nn B) = P(A\B)*P(B\A)
P(A nn B) = (P(A)-P(B))*(P(B)-P(A))
= P(A)*P(B)-P(A)^2-P(B)^2 +P(A)*P(B)
=(2*(P(A)*P(B))-P(A)^2-P(B) mal -1
= -(2*(P(A)*P(B))+P(A)^2+P(B)
= ((P(A)*(P(B))^2
?

04.11.2012, 16:54

Math1986

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Hallo,
sei
A:erster Wurf ergibt 6
B: die Summe aller Augenzahlen ist gleich 7.
Wie sieht nun der Wahrscheinlichkeitsraum aus? Mir scheint, dass du diesen Teil der Aufgabe stillschweigend übergangen hast unglücklich

unglücklich

Wenn du das gemacht hast, bestimmst du die Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ , und dann $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

Die Formel $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$ darfst du dabei nicht verwenden, da diese ausschließlich im Fall der Unabhängigkeit der Ereignisse gültig ist, und das ist hier a-priori nicht bekannt.

04.11.2012, 17:00

Theend9219

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Omega {A=(a1), A_i element {1,....,6)}, i=1}
Omega {B=(a1,...a6), A_i element {1,....,36)}, 1<=i<=6}

siehen die Warscheinlichkeitsräuime so aus?
Was sind denn nun die Mengen A und B in meinem Fall?
P(A) = 1/6 und
P(B) = 6/36 = 1/6
P(A nn B) = 1/6

04.11.2012, 17:03

Math1986

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einer Grundmenge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , einer Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ und einem Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , wie sieht das nun jeweils aus?
Und welches sind die Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ?

Bitte beachte Wie kann man Formeln schreiben? in dieser Form habe ich nicht wirklich die Lust, es mir näher anzusehen.

PS: Bitte bleib bei einem Account.

04.11.2012, 17:12

Theend9219

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Danke schon einmal für deine Antwort...
Wenn P eine W- Verteilung auf (Omega, A) ist, dann heißt das Tripel (Omega, A,P) ein W-Raum.
Wenn A und B element A sind und A und B paarweise disjunkt sind dann gilt die Additivität P(AuuB) = P(A)+P(B)

04.11.2012, 17:15

Math1986

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Das ist die Definition. Wie sehen nun $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ in dieser Aufgabe aus?

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04.11.2012, 17:18

Theend9219

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Omega = ?
A = 36
P= 1/6

04.11.2012, 17:22

Math1986

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
So, jetzt überlege dir erstmal, wie Omega aussieht. Wie sehen denn die Elementarereignisse aus?

Wie kann eine Sigma-Algebra eine natürliche Zahl sein? verwirrt

verwirrt

Und P ist eine Abbildung, keine Zahl (und zur Erinnerung: Es wird zweimal geworfen)

04.11.2012, 17:29

Theend9219

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Ich weiß nicht =(
Bei P würde ich sagen:
P : A --> [1,6]
A und B sind die Teilmengen aus dem Mengensystem A.
Und die Warscheinlichkeit für Ereignis A ist P(A)

04.11.2012, 17:33

Math1986

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
So kommen wir hier nicht weiter. Entweder, du schreibst mir jetzt sämtliche Ergebnisse, die beim Werfen mit 2 Würfeln entstehehn können, auf, oder ich bin hier raus.
Dein Wahrscheinlichkeitsraum besteht offensiochtlich genau aus diesen Ergebnissen.

04.11.2012, 17:37

Theend9219

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Entschuldigung =(
Ereignisse (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,
1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),
(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
Und die Augensumme hat die Ergebnisse von 1 bis 12

04.11.2012, 17:40

Math1986

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Wow..
$\begin{eqnarray*} \Omega=\{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,<br /> 1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),<br /> (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\} \end{eqnarray*}$
Und nun überlegst du dir, wie die Sigma-Algebra und dein Wahrscheinlichkeitsmaß aussieht.

04.11.2012, 17:45

Theend9219

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Okay der Grundraum ist [0,1] entweder eine 6 oder keine oder?

04.11.2012, 17:50

Math1986

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Meine vorherige Frage lautete:

Zitat:

Und nun überlegst du dir, wie die Sigma-Algebra und dein Wahrscheinlichkeitsmaß aussieht.

Welchen Teil davon hast du nicht verstanden?

Den Grundraum hatten wir doch im vorherigen Beitrag auch bestimmt:
$\begin{eqnarray*} \Omega=\{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,<br /> 1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),<br /> (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\} \end{eqnarray*}$

Entweder du nennst mir jetzt die Sigma-Algebra und das Wahrscheinlichkeitsmaß, oder ich bin hier raus.

04.11.2012, 17:57

Theend9219

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Ich stand glaube auf dem Schlauch ...

Also die Sigma ALgebra ist = {x = {1,....,6} : x_1,x_2 element {1,....,6}
Und das Warscheinlichkeitsmaß
P(x) = 1/36 für alle x = (x_1,x_2) element der Sigma Algebra

04.11.2012, 18:05

Math1986

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen

Zitat:

Original von Theend9219
Also die Sigma ALgebra ist = {x = {1,....,6} : x_1,x_2 element {1,....,6}

Schreib das bitte nochmal sauber auf:
Wie kann man Formeln schreiben?

Zitat:

Original von Theend9219
Und das Warscheinlichkeitsmaß
P(x) = 1/36 für alle x = (x_1,x_2) element der Sigma Algebra

Prinzipiell richtig, nur dass die x = (x_1,x_2) nicht aus der Sigma-Algebra, sondern aus dem Wahrscheinlichkeitsraum selbst kommen. Was du da hast ist die Zähldichte.

04.11.2012, 18:17

Theend9219

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
$\begin{eqnarray*} A= \left\{ x = (x_i); x_1,x_2 \in (1,2,3,4,5,6), 1\leq i\leq2\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(x_1) = 1/6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(x_2) = 1/6 \end{eqnarray*}$

04.11.2012, 18:18

Theend9219

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
upps sorry ... 1/36 ..

04.11.2012, 18:19

Math1986

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RE: Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
So, entweder du listest mir nun sämtliche Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ einzeln auf, oder ich bin hier raus.

Irgendwo hast du da noch grundsätzliche Probleme beim Aufschreiben von Mengen

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