Integral mit Riemannsummen berechnen

04.11.2012, 16:51	BioKai	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Riemannsummen berechnen Meine Frage: Hallo zusammen, Wir sollen $\begin{eqnarray} \int_0^a \! x^3 \, dx \end{eqnarray}$ mithilfe der Riemansumme berechnen. Ich habe leider keine Ahnung welche Parameter ich für welche Teile der Riemannsumme einsetzen muss und habe daher nichtmal einen Lösungsvorschlag... Kann mir jemand helfen??? Vielen Dank!! LG BioKai Meine Ideen: Leider keine...
04.11.2012, 17:10	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit Riemannsummen berechnen Hi, wenn du es per Summe berechnen sollst, dann benutze folgendes: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n f(x+k\Delta x)\cdot\Delta x \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \Delta x=\frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$
04.11.2012, 17:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme einmal $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ an (für $\begin{eqnarray} a<0 \end{eqnarray}$ kann man den Integralwert durch eine Symmetriebetrachtung aus dem Fall $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ erhalten). Mache dir zu Folgendem eine Skizze. Man teilt das Intervall $\begin{eqnarray} [0,a] \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gleiche Teile. Die Breite eines Teilintervalls ist daher $\begin{eqnarray} \Delta x_n = \frac{1}{n} \cdot a \end{eqnarray}$ . Die Teilungspunkte sind $\begin{eqnarray} 0, \ \frac{1}{n} \cdot a, \ \frac{2}{n} \cdot a, \ \ldots \ , \ \frac{n}{n} \cdot a \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ) Aus jedem Teilintervall nimmt man nun einen Zwischenwert $\begin{eqnarray} \xi_k \end{eqnarray}$ . Niemand verbietet einem, den rechten Randpunkt als "Zwischen"wert zu nehmen (da die Funktion streng monoton wächst, erhält man also de facto eine Obersumme). Im ersten Teilintervall: $\begin{eqnarray} \xi_1 = \frac{1}{n} \cdot a \end{eqnarray}$ , im zweiten Teilintervall: $\begin{eqnarray} \xi_2 = \frac{2}{n} \cdot a \end{eqnarray}$ und so weiter, schließlich im $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Teilintervall: $\begin{eqnarray} \xi_n = \frac{n}{n} \cdot a = a \end{eqnarray}$ Jetzt wird die Länge $\begin{eqnarray} \Delta x_n \end{eqnarray}$ des Teilintervalls mit dem Funktionswert multipliziert (so bekommt man den Inhalt des Teilrechtecks der Obersumme). Im ersten Teilintervall: $\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{n} \cdot a \right)^3 \cdot \frac{1}{n} \cdot a, \end{eqnarray}$ im zweiten Teilintervall: ... Dann werden alle Rechtecksinhalte addiert. Jetzt schreibe einmal die Summe auf, mit Pünktchen oder mit Hilfe des Summenzeichens. Schau, was alle Summanden als Faktoren gemeinsam haben, und klammere aus.

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