Zeitverschiebungssatz --> Laplace-Transformation

04.11.2012, 18:36

laplace123

Zeitverschiebungssatz --> Laplace-Transformation

Hallo!

Ich stelle mir die Frage wie ich f(t)=5(t-1) laplace-transformieren kann mit Hilfe des Zeitverschiebungssatzes.

Der Satz lautet ja: $\begin{eqnarray*} L[f(t-t0)]=F(s)\cdot{}e^{-s\cdot{}t0} \end{eqnarray*}$

Naja was ist den nun von der Funktion das F(s)?

Ohne den Zeitverschiebungssatz, kann ich das auch lösen:

$\begin{eqnarray*} F(s)=5(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}) \end{eqnarray*}$
Aber wie gehts mit dem Satz?

mfg

Edit Equester: Latex korrigiert und in die Hochschulmathematik verschoben.

04.11.2012, 21:38

laplace123

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Weiß den niemand die Antwort bitte?

Ergänzung:

in der schule haben wir einfach das gemacht:

t -> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{s^2} \end{eqnarray*}$

t-1 -> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{s^2} \cdot e^{-s} \end{eqnarray*}$

t0=1

05.11.2012, 19:17

laplace123

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Bitte leute helft mir doch. Es ist wichtig smile

23.03.2022, 20:10

Lateguy

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Antwort
Tut mir Leid für die spätere Antwort,
Ich hab leider selber keinen Plan

24.03.2022, 14:17

Huggy

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RE: Zeitverschiebungssatz --> Laplace-Transformation

Zitat:

Der Satz lautet ja: $\begin{eqnarray*} L[f(t-t0)]=F(s)\cdot{}e^{-s\cdot{}t0} \end{eqnarray*}$

Naja was ist den nun von der Funktion das F(s)?

So lautet der Satz nicht!

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal L [f(t)]=F(s) \end{eqnarray*}$ die Laplacetransformierte von $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \mathcal L [f(t-t_0)\Theta (t-t_0)]=F(s)e^{-s t_0} \end{eqnarray*}$

Man muss schon $\begin{eqnarray*} f(t-t_0)=0 \end{eqnarray*}$ setzen für $\begin{eqnarray*} t<t_0 \end{eqnarray*}$ , hier realisiert durch Multiplikation mit der $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ -Funktion, sonst stimmt das nicht.

24.03.2022, 14:56

gast_free

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RE: Zeitverschiebungssatz --> Laplace-Transformation
Bitte meinen Beitrag davor löschen!

Zitat:

Original von laplace123
Hallo!

Ich stelle mir die Frage wie ich f(t)=5(t-1) laplace-transformieren kann mit Hilfe des Zeitverschiebungssatzes.

Der Satz lautet ja: $\begin{eqnarray*} L[f(t-t0)]=F(s)\cdot{}e^{-s\cdot{}t0} \end{eqnarray*}$

Naja was ist den nun von der Funktion das F(s)?

Ohne den Zeitverschiebungssatz, kann ich das auch lösen:

$\begin{eqnarray*} F(s)=5(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}) \end{eqnarray*}$
Aber wie gehts mit dem Satz?

mfg

Edit Equester: Latex korrigiert und in die Hochschulmathematik verschoben.

Du kannst nicht die Argumente einfach aufbrechen. Du hast die Funktion in zwei Funktionen aufgeteilt, beide Laplacetranformiert und die Ergebnisse aufsummiert. Das ist etwas anderes als eine Zeitverschiebung durchzuführen.

$\begin{eqnarray*} f(t-t_0) \ne f(t)-f(t_0) \end{eqnarray*}$

Die Laplacetransformation ist wie folgt definiert.

$\begin{eqnarray*} F(s)=L[f(t)]=\int_{t=0}^{\infty}{f(t)\cdot e^{-s\cdot t}}dt \end{eqnarray*}$

Die Funktion f(t) im sog. Zeitraum wird in eine Funktion F(s) im Bildraum überführt. Mit Hilfe der Transformationsvorschrift kann man die Rechenregeln für die Bildraum ablleiten. Viele Operationen wie Differenzieren oder Integrieren gestalten sie im Bildraum wesentlich einfacher. Dies bringt einen großen Vorteil beim lösen von Systemen von Differentialgleichungen.

Jetzt zur Zeitverschiebung.

$\begin{eqnarray*} L[f(t-t_0)]=\int_{t=0}^{\infty}{f(t-t_0)\cdot e^{-s\cdot t}}dt \end{eqnarray*}$

Probieren wir es mit Substitution.

$\begin{eqnarray*} z=t-t_0=>t=z+t_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot z=1=>dz=dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L[f(t-t_0)]=\int_{z=-t_0}^{\infty}{f(z)\cdot e^{-s\cdot (z+t_0)}}dz=e^{-s\cdot t_0}\cdot\int_{z=0}^{\infty}{f(z)\cdot e^{-s\cdot z}}dz=F(s)\cdot e^{-s\cdot t_0} \end{eqnarray*}$

Konkrete Aufgabe.
$\begin{eqnarray*} f(t)=5\cdot t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(t-1)=5\cdot (t-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L[f(t)]=L[5\cdot (t)]=5\cdot \int_{t=0}^{\infty}{t\cdot e^{-s\cdot t}}dt=\frac{5}{s^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L[f(t-1)]=L[5\cdot (t-1)]=5\cdot e^{-s}\cdot \int_{t=0}^{\infty}{t\cdot e^{-s\cdot t}}dt=\frac{5}{s^2}\cdot e^{-s} \end{eqnarray*}$

24.03.2022, 15:22

Huggy

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RE: Zeitverschiebungssatz --> Laplace-Transformation

Zitat:

Original von gast_free
$\begin{eqnarray*} L[f(t-1)]=L[5\cdot (t-1)]=5\cdot e^{-s}\cdot \int_{t=0}^{\infty}{t\cdot e^{-s\cdot t}}dt=\frac{5}{s^2}\cdot e^{-s} \end{eqnarray*}$

Wie ich schon ausführte, stimmt das nicht, Es ist

$\begin{eqnarray*} \mathcal L [f(t-1)]=5(\frac 1 {s^2}-\frac 1 s) \end{eqnarray*}$

Da du mir offenbar nicht glaubst, füge ich mal an, was Mathematica dazu sagt:

[attach]54836[/attach]

25.03.2022, 10:07

gast_free

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RE: Zeitverschiebungssatz --> Laplace-Transformation

Zitat:

Original von Huggy

Da du mir offenbar nicht glaubst, füge ich mal an, was Mathematica dazu sagt:

Das hat mit "nicht glauben" nichts zu tun. Ich hatte meinen Beitrag länger in der Bearbeitung pausiert und Deinen Beitrag daher nicht mit bekommen. Ich werden ihn mir genauer ansehen und versuchen nachzuvollziehen. Für mich steht Deine Fachkompetenz außer Frage.

Nichts für Ungut! smile

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