Ungleichung lösen

04.11.2012, 18:40

donpain

Ungleichung lösen

Guten Abend!

Ich sitze gerade vor meinem zweiten Analysis I Übungszettel (ich hoffte, dass die Rubrik deswegen zum Thema passt) und komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter. :/

Die Aufgabe:
Es soll die Menge aller (x,y) Element aus lR, so dass (x^3) + (y^3) >= -3xy(x+y) gilt skizziert werden.

Das Problem:
Ich weiß, dass ich auf y >= -x kommen muss, aber ich finde einfach nicht den Weg. In einem vorherigen Aufgabenteil konnte ich die Ungleichung ganz einfach durch eine Fallunterscheidung lösen, aber hier sehe ich nicht wie das funktionieren sollte. Ich habe die Ungleichung umgestellt, sodass 0 >= ... da stand und dann versucht die möglichen Fälle (sprich x>0, y>0 und x>0, y<0, etc etc) durchzugehen, aber das führte mich bis jetzt alles nicht weiter. Vielleicht fehlt mir auch einfach die Idee, wie ich den Term umformen könnte, ich weiß es nicht.

Das Skizzieren bekomme ich aufjedenfall selber hin, aber das Lösen der Ungleichung ist mir echt ein Rätsel. Bitte helft mir! smile

Grüße
Marius

04.11.2012, 20:04

tmo

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Multipliziere mal $\begin{eqnarray*} (x+y)^3 \end{eqnarray*}$ aus.

04.11.2012, 21:07

donpain

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Zitat:

Multipliziere mal $\begin{eqnarray*} (x+y)^3 \end{eqnarray*}$ aus.

$\begin{eqnarray*} (x+y)^3 = (x+y) * (x+y) * (x+y) = (x^2 + 2xy + y^2) * (x+y) = x^3 + y^3 + 3(x^2)y + 3x(y^2) \end{eqnarray*}$

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} x^3 + y^3\ge -3(x^2)y - 3x(y^2) \Leftrightarrow (x+y)^3 \ge 0 \end{eqnarray*}$

Damit $\begin{eqnarray*} (x+y)^3 \ge 0 \end{eqnarray*}$ gilt, muss der Term in der Klammer positiv bzw gleich 0 sein und das ist nur der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} y \ge -x \end{eqnarray*}$ .

Ich danke Dir. smile

Eigentlich so simpel, aber ich habs einfach nicht gesehen.

Schönen Abend noch,
Marius

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