surjektiv oder nicht ...

15.07.2004, 09:03	ratlos	Auf diesen Beitrag antworten »
surjektiv oder nicht ... Hi, kann mir bitte mal jemand auf die Sprünge helfen bei folgenden Fragen: Wieso kann aus $\begin{eqnarray} f^{-1}(Y)=X \end{eqnarray}$ nicht geschlossen werden, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ surjektiv ist (zumindest ist das die Aussage einer in einem bekannten Lehrbuch abgedruckten Übungsaufgabe). Mir ist klar, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht notwendigerweise bijektiv sein muß, woraus folgt, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}(Y) \end{eqnarray}$ keine Umkehrabbildung, sondern das Urbild meint, aber trotdem stehe ich da auf dem Schlauch ... In dem Zusammenhang ist mit auch nicht klar, ob aus $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ surjektiv und $\begin{eqnarray} f^{-1}(Y) \end{eqnarray}$ surjektiv oder (kein logisches ODER, sondern zwei getrennte Fragen!) $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ injektiv und $\begin{eqnarray} f^{-1}(Y) \end{eqnarray}$ injektiv folgt: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bijektiv. Gruß Andy
15.07.2004, 10:20	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität heißt ja, das alle Elemente des Bildraums in Relation stehen. Bei einer Bijektiven Abbildung, ist auch die Umkehrabbildung bijektiv, also auch surjektiv. Die Umkehrabbildung existiert genau dann, wenn eine Funktion f bijektiv ist.Deswegen versteh ich deinen Ausdruck f^-1 für nicht bijektive Funktionen nicht so ganz. da linkstotalität gefordert wird für eine Funktion, muss die Umkehrrelation schon zwangsläufig rechtstotal sein da A -> B , wird als linkstotal vorraus gesetzt => B -> A , alle a's aus A stehen in relation -> rechtstotal(den begriff surjektiv darf man nur verwenden wenn man weis das er sich auf eine Abbildung bezieht). Das Problem ist das B -> A nicht mehr notwendiger Weise eine Funktion ist, da die rechtseindeutigkeit verletzt sein könnte. Aus f injektiv und f^-1 injektiv folgt bijektivität, nun warum? f und f-1 sind Funktionen also linkstotal. Desweiteren Ordnen sie einem Urbild genau ein Bild zu. Da f^-1 auch als Injektiv vorrausgesetzt wurde , und es eine Funktion ist, folgt das f und f^-1 surjektiv sind. Daraus folgt dann die Bijektivität. (Nun ja sie sind surjektiv, weil der Bildbereich von f genau der Urbildbereich von f^-1 ist, und das auch nur weil Funktionen linkstotal sein müssen!) (wenn ich fehler hab bitte ganz laut schreien )
15.07.2004, 15:59	ratlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mazze, zuerst einmal Dank für Deine Antwort. Mit $\begin{eqnarray} f^{-1}(B)=A \end{eqnarray}$ für eine nicht bijekktive Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ meine ich (bzw. der Schreiber des schon genannten Lehrbuches) gerade diejenigen Elemente aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , die durch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ abgebildet werden ("Urbild") was ein Untersschied ist zur Umkehrrabbildung wie sie für bijektive Abbildungen definiert ist (oder liege ich da völlig falsch?) Ansonsten muß ich mir Deine Argumente noch einmal durch den Kopf gehen lassen, da ich sie im Moment noch nicht vollständig verstanden habe:-) Ich melde mich dann wieder, sobald es weitere Fragen gibt. Gruß Andy
15.07.2004, 16:33	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Andy, Darf ich dir noch auf den Weg geben, dass deine Funktion f oben in der Tat surjektiv ist, wenn f von A nach B abbildet? Du solltest immer den Definitionsbereich und Bildbereich deiner Funktionen angeben, sonst fehlen einfach zu viele Details, um die Frage sinnvoll beantworten zu koennen. Lieben Gruss, Irrlicht

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