Welchen Winkel schließen Vektor a und b ein?

04.11.2012, 18:38

baba2k

Welchen Winkel schließen Vektor a und b ein?

Hallo zusammen,

ich finde bei folgender Aufgabe keinen Lösungsansatz:

Der Verktor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ist zweimal länger als der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ und die beiden Vektoren erfüllen das Folgende: $\begin{eqnarray*} (3\vec{a}+\vec{b}) \end{eqnarray*}$ steht senkrecht auf $\begin{eqnarray*} (\vec{a}-2\vec{b}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b}=3 \end{eqnarray*}$ .
Welchen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ schließen $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ein?

Ich kann daraus folgendes ablesen:
$\begin{eqnarray*} 2||\vec{a}||=||\vec{b}|| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3\vec{a}+\vec{b})\perp(\vec{a}-2\vec{b}) \Rightarrow (3\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b}=3 \end{eqnarray*}$

Wie muss ich jetzt weiter vorgehen?

Vielen Dank!

05.11.2012, 09:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Welchen Winkel schließen Vektor a und b ein?

Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} (3\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b})=0 \end{eqnarray*}$

Löse hier mal die Klammern auf. smile

05.11.2012, 09:16

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, das versuche ich gleich mal, wenn ich Zuhause bin smile

Danke

05.11.2012, 17:16

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Ausgangsgleichungen:
$\begin{eqnarray*} 2||\vec{a}||=||\vec{b}|| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3\vec{a}+\vec{b})\perp(\vec{a}-2\vec{b}) \Rightarrow (3\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b})=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b}=3 \end{eqnarray*}$

Rechnung:
$\begin{eqnarray*} (3\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b})=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3\vec{a}\vec{a}-6\vec{a}\vec{b}+\vec{a}\vec{b}-2\vec{b}\vec{b}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3||\vec{a}||^2-6\cdot3+3-2||\vec{b}||^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3||\vec{a}||^2-2||\vec{b}||^2=15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3||\vec{a}||^2-8||\vec{a}||^2=15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -5||\vec{a}||^2=15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{a}||^2=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{a}||=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{4}||\vec{b}||^2-2||\vec{b}||^2=15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}||\vec{b}||^2=15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{b}||^2=60 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{b}||=\sqrt{60} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Wie kann ich jetzt $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ errechnen?

//EDIT: Bin ja blöd:

$\begin{eqnarray*} cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}||\cdot||\vec{b}||} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{3}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{60}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\sqrt{5}}{10} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\vec{a},\vec{b})\approx77,079° \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen?

05.11.2012, 20:23

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Mh nee misst das wäre ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{-3} \end{eqnarray*}$ -.- dann weiß ich es doch nicht...

06.11.2012, 08:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Welchen Winkel schließen Vektor a und b ein?
Das Problem ist hier (ich hatte es leider übersehen):

Zitat:

Original von baba2k
Ich kann daraus folgendes ablesen:
$\begin{eqnarray*} 2||\vec{a}||=||\vec{b}|| \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} ||\vec{a}|| = 2||\vec{b}|| \end{eqnarray*}$ smile

06.11.2012, 12:20

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, natürlich hat du Recht - hab mich irgendwie vertan bei der Formulierung:

Ausgangsgleichungen:
$\begin{eqnarray*} ||\vec{a}||=2||\vec{b}|| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3\vec{a}+\vec{b})\perp(\vec{a}-2\vec{b}) \Rightarrow (3\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b})=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b}=3 \end{eqnarray*}$

Rechnung:
$\begin{eqnarray*} (3\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b})=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3\vec{a}\vec{a}-6\vec{a}\vec{b}+\vec{a}\vec{b}-2\vec{b}\vec{b}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3||\vec{a}||^2-6\cdot3+3-2||\vec{b}||^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3||\vec{a}||^2-2||\vec{b}||^2=15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3||\vec{a}||^2-2||\vec{b}||^2=15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3||\vec{a}||^2-\frac{1}{2}||\vec{a}||^2=15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}||\vec{a}||^2=15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{a}||^2=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{a}||=\sqrt{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3||\vec{a}||^2-2||\vec{b}||^2=15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12||\vec{b}||^2-2||\vec{b}||^2=15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 10||\vec{b}||^2=15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{b}||^2=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec{b}||=\sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}||\cdot||\vec{b}||} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{3}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(\vec{a},\vec{b})=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\vec{a},\vec{b})=0\pi=0° \end{eqnarray*}$

So sollte es jetzt hoffentlich simmen?

06.11.2012, 13:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

07.11.2012, 13:19

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! smile

Neue Frage »

Antworten »

Welchen Winkel schließen Vektor a und b ein?

Verwandte Themen