induzierte Matrixnorm mit Spektralradius zeigen

04.11.2012, 20:15	MathStudent22	Auf diesen Beitrag antworten »
induzierte Matrixnorm mit Spektralradius zeigen Meine Frage: Gegeben ist eine symmetrische, positiv definite Matrix Q $\begin{eqnarray} \in \mathbb R ^{n,n} \end{eqnarray}$ und eine Norm $\begin{eqnarray} \\|x \\|_Q :=<x,Qx>^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ mit <.,.> als Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist: Es gilt für die von $\begin{eqnarray} \\|\cdot \\|_Q \end{eqnarray}$ induzierte Matrixnorm $\begin{eqnarray} \\|A \\|_Q = \sqrt{p(Q^{-1}A^{T}QA)} \end{eqnarray}$ wobei p der Spektralradius ist: p(A) = max{ $\begin{eqnarray} \|\lambda\| \lambda \end{eqnarray}$ Eigenwert von A} Meine Ideen: Ich komme mit dieser Aufgabe leider gar nicht klar. Gilt dann Folgendes, weil A eine induzierte Matrixnorm ist? $\begin{eqnarray} \\|A \\|_Q = \max_{x\neq 0} \frac{\\|Ax \\|_Q }{\\|x \\|_Q }=\max_{\\|x \\|_n=1} \\|Ax \\|_Q \max_{\\|x \\|_n=1} <Ax,QAx>^{\frac{1}{2} } = \max_{\\|x \\|_n=1} ((Ax)^{T}QAx) ^{\frac{1}{2} } = \max_{\\|x \\|_n=1} (x^{T}A^{T}QAx) ^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ Aber wie gehts weiter, wenn das überhaupt stimmen sollte?
06.11.2012, 20:56	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: induzierte Matrixnorm mit Spektralradius zeigen Guten Abend, noch Intresse an der Lösung, lieber TU-Student ;D Gruß, Causal
10.11.2012, 16:43	Dummbatzz	Auf diesen Beitrag antworten »
DDDDD

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