Varianz berechnen

04.11.2012, 20:44

Jator08

Varianz berechnen

Hallo Leute,
ich hätte ein Problem im Bereich der Statistik. Mit Zahlen muss ich das Arithemtsiche Mittel usw. ausrechnen. Nur bei der Varianz, also s² hab ich Schwierigekeiten bzw. kein Plan.

Hier die Aufgabe:

Mit den Zahlen
17, 20, 15, 15, 14, 15
muss ich das Arithemtsiche Mittel, Modus, Median und die Varianz berechnen. Die ersten 3 hab ich schon gemacht. Aber bei der Varianz kenn ich mich nicht mit der Formel aus.
s² = ?

04.11.2012, 21:24

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Formel für die Varianz ist:

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^2=\frac{1}{6} \sum_{i=1}^6 (x_i-\overline{x})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ ist das arithmetische Mittel. Hast du schon berechnet.

$\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ sind die jeweiligen x-Werte.

$\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ ist normalerweise die Stichprobenvarianz. $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ wird nur verwendet, wenn deine Daten aus einer Stichprobe stammen. Ist das so? Wenn nicht, kannst du die obige Formel verwenden.

Mit freundlichen Grüßen.

04.11.2012, 22:36

Jator08

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel ist mir zu kompliziert, kenn mich nicht aus.
Nein die Zahlen stammen nicht aus einer Stichprobe.

04.11.2012, 22:39

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Was ist denn der Wert für das arithmetische Mittel?

Das brauchen wir jetzt.

04.11.2012, 22:47

Jator08

Auf diesen Beitrag antworten »

Arithmetische Mittel: 16
Modus: 15
Median: 15

04.11.2012, 22:55

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut. Die 16 für das arithmetische Mittel habe ich auch.

Jetzt nimmt man den ersten x-Wert: $\begin{eqnarray*} x_1=17 \end{eqnarray*}$

Ignoriere mal kurz das Summenzeichen und den Bruch.

Jetzt setzt man in die verbleibende Formel für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ den Wert ein:
$\begin{eqnarray*} (x_i-\overline{x})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(17-16)^2 \end{eqnarray*}$

Wie würde es für die anderen x-Werte aussehen? Die 16 bleibt immer gleich, da es das arithmetische Mittel ist.

04.11.2012, 23:13

Jator08

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja schon klar, so machten wir es in der Schule am Anfang bei wenigen Zahlen auch.
Aber jetzt haben wir 20-30 Zahlen und müssen die Formel anwenden. Wie gesagt, die ist zu kompliziert.

04.11.2012, 23:16

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe nur 6.

04.11.2012, 23:20

Jator08

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "wir" meinte ich meine Mitschüler und mich.
Also was soll ich machen wenn ich 20-30 Zahlen habe?

04.11.2012, 23:23

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vorgehensweise ist prinzipiell die gleiche, nur aufwendiger.

04.11.2012, 23:28

Jator08

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Zeit werd ich beim Test wohl nicht haben. ^^
Es geht doch schneller, oder?

04.11.2012, 23:36

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest allenfalls den Verschiebungssatz anwenden.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2=\Bigg( \sum_{i=1}^n x_i^2 \Bigg) - \frac{1}{n} \Bigg( \sum_{i=1}^n x_i \Bigg)^2 \end{eqnarray*}$

Damit könntest du schneller sein.

04.11.2012, 23:42

Jator08

Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du in dieser Formel meine erwähnten Zahlen einsetzen?

04.11.2012, 23:50

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mache es lieber mal an einem kleinen Beispiel klar.

$\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ 1 2 3

$\begin{eqnarray*} \Bigg( \sum_{i=1}^n x_i^2 \Bigg) = 1^2+2^2+3^2=1+4+9=14 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{n} \Bigg( \sum_{i=1}^n x_i \Bigg)^2=-\frac{1}{3} \cdot (1+2+3)^2=-\frac{1}{3} \cdot 36=-12 \end{eqnarray*}$

Zusammen ergibt das: 2

Wenn man die ganze Varianzformel betrachtet, muss man jetzt noch durch n=3 teilen:

$\begin{eqnarray*} V(x)=2/3 \end{eqnarray*}$

Du kannst es ja mit deinen Zahlen mal probieren.

08.11.2012, 20:08

Jator08

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehs noch immer nicht.

08.11.2012, 20:29

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau verstehst du an meinem letzten Beitrag nicht?

08.11.2012, 22:40

Jator08

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles ^^
Ich muss das s² in so einem Diagramm mit 20-30 verschiedenen Zahlen ausrechnen. (keine Stichprobe)
Wie macht man das auf die schnelle Art und Weise?

08.11.2012, 22:50

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Du musst mit 99,99% Wahrscheinlichkeit in einer Klausur nicht die Varianz mit 30 Werten ausrechnen. Die Zeit hat man einfach nicht. Es müssen ja auch noch andere Themengebiete abgefragt werden.

2. Mit dem Verschiebungssatz hast du den schnellsten Weg um die Varianz zu berechnen.

3. "Alles" ist mir nun wirklich nicht konkret genug.

08.11.2012, 23:07

Jator08

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es denn nicht eine Formel mit x quer, usw. die man einsetzen muss, und mit nur EINER Formel die Varianz von 30 Zahlen ausrechnet?

Oder NUR z.b. 1/5 * (x1 - x quer)² + ... (x5 - x quer)² ???
Wie du es schon vorgezeigt hast.

08.11.2012, 23:27

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, nur der Verschiebungssatz bringt eine Vereinfachung.
In beiden Fällen handelt es sich im Übrigen um eine Formel.

Ich würde an deiner Stelle mit dem Verschiebungssatz ein bisschen üben. Nur so wirst du schneller. Am Wichtigsten ist, dass du das Konzept der Varianz und deren Berechnung verstanden hast.

09.11.2012, 00:01

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aber jetzt haben wir 20-30 Zahlen und müssen die Formel anwenden. Wie gesagt, die ist zu kompliziert.

Kommt natürlich auch noch darauf an, ob das alles verschiedene Zahlen sind oder nicht.

Wenn man dein obiges Beispiel mit den 6 Zahlen betrachtet, ist die Sache ja ruck zuck erledigt, denn wenn Zahlen häufiger vorkommen, kann man das ja alles problemlos zusammenfassen:

Zitat:

17, 20, 15, 15, 14, 15

$\begin{eqnarray*} \frac{(16-14)^2+3 \cdot (16-15)^2+(16-17)^2+(16-20)^2}{6} \end{eqnarray*}$

09.11.2012, 00:07

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

@Bjoern1982

Warum rechnest du Jator08 alles vor, wo er/sie noch keine Anstalten gemacht hat, selber etwas zu versuchen?

Grüße.

09.11.2012, 00:14

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ging doch schon längst nicht mehr um diese paar Zahlen aus dem ersten Beitrag sondern dem Fragesteller ging es offenbar um einen Kommentar zu dem von mir zitierten Beitrag von ihm.
Da der (meiner Meinung nach entscheidende) Häufigkeitsaspekt hier nicht zur Sprache kam und auch Formeln mit dem Summenzeichen erfahrungsgemäß bei Schülern der Unter- oder Mittelstufe nicht wirklich gut ankommen, habe ich es mir erlaubt das kurz vorzuführen.
Wo liegt das Problem ?

Zitat:

Ich muss das s² in so einem Diagramm mit 20-30 verschiedenen Zahlen ausrechnen

Das hier hatte ich übrigens überlesen, dass doch von verschiedenen Zahlen gesprochen wurde. Das kann ich auch eher nicht glauben, das wäre eine unsinnige Aufgabe wenn man das dann noch alles ausführlich aufschreiben sollte.

09.11.2012, 00:38

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem liegt darin, dass Jator08 so gut wie gar nicht auf meine Vorschläge eingegangen ist. Ich finde nicht, dass das in irgendeiner Weise belohnt werden sollte.
Sonst habe ich überhaupt nichts dagegen, wenn jemand einen Vorschlag macht.

Das mit den Summenzeichen, scheint Jator08 verstanden zu haben:

Zitat:

Oder NUR z.b. 1/5 * (x1 - x quer)² + ... (x5 - x quer)² ???

Ich hätte ihn bei jeder Art von Berechnungsversuch unterstüzt. Es war ja sein Primärziel, überhaupt die Varianz zu berechnen. Bis jetzt kam aber nichts.

Grüße.

Neue Frage »

Antworten »

Varianz berechnen

Verwandte Themen