Eine 8-Tages-Reise in 6 Städte |
| 04.11.2012, 22:23 | vendredi23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Eine 8-Tages-Reise in 6 Städte "Ein Touristik-Büro bietet GUS-Touren mit möglichem Besuch folgender Städte an: Moskau, Leningrad, Kiew, Minsk, Jalta, Wolgograd. An einem Tag kann nur eine Stadt besucht werden." Reihenfolge halte ich für relevant, Modell ohne zurückziehen. a) "Wieviele 4-Tages-Reisen sind möglich?" Meine Antwort: 6!/5! + 6!/4! + 6!/3! + 6!/2! = 516 b) "Wieviele 4-Tages-Reisen sind möglich, wenn keine Stadt zwei Tage oder länger besucht wird?" Meine Antwort: 6!/2! = 360 c) "Wieviele 6-Tages-Reisen ohne Wiederholungen sind möglich?" Meine Antwort: 6! = 720 Hier bin ich mir nicht sicher: d) "Wieviele 8-Tages-Reisen sind möglich, wenn jede Stadt besucht wird?" Meine Antwort: 6! + 6!/4! + 6!/5! = 756 An folgender Aufgabe habe ich zu knabbern. e) "Wieviele 8-Tages-Reisen sind möglich, wenn jede Stadt besucht wird, aber in keine bereits verlassene Stadt zurückgekehrt wird?" Danke im Voraus! |
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| 04.11.2012, 22:46 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
b) und c) sind richtig. a) Nach der Fragestellung (besonders, wenn ich die anderen Aufgabenteile betrachte) wäre aber auch eine viertägige Moskaureise möglich. Oder Moskau-Kiew-Jalta-Moskau. Ein Gedankenstupser: e) Jede Stadt muß besucht werden und Du mußt Dir überlegen, wie die zwei "Verlängerungstage" untergebracht werden können. Bei d) muß der Reisende nicht "Verlängern", sondern hat freie Auswahl. |
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| 04.11.2012, 23:27 | vendredi23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wird das nicht mit "6!/5!" ausgedrückt, also jede Stadt jeweils vier Tage als Möglichkeit?
Dann wohl doch ein Modell mit zurücklegen: 6^{4} = 1296
heißt wohl 6². Also berechne ich erst, dass jede einmal besucht wird und addiere dann die freie Wahl: 6! + 6² erscheint mir schlüssig.
Das hilft mir leider nicht weiter. |
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| 04.11.2012, 23:39 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So ist es nun richtig, in dieser Rechnung ist dann auch gleich der Vier-Tage-Moskau-Trip drin. d) Nicht 6! + 6^2 Ich mache zuerst eine Rundreise ohne Wiederholung und kehre anschließend zu einigen Orten zurück: 6*5*4*3*2*1*6*6 Ich könnte allerdings die Rundreise auch zwischendurch unterbrechen und irgendwo hinfahren (vielleicht auch am Ort verbleiben): 6*5*4*6*3*6*2*1 Dieser Gedankengang könnte auch bei e) helfen. |
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| 04.11.2012, 23:56 | vendredi23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok d) habe ich jetzt absolut verstanden. Dann ist e) umständlich ausgedrückt: 6*5*4*3*2*1*1*1 6*6*6*5*4*3*2*1 6*6*5*5*4*3*2*1 6*5*4*4*3*2*2*1 ... sorry, ich check´s immer noch nicht. Mathe durch ein Heft zu lernen ist einfach saublöd, die geben viel zu wenige Beispiele und mir fehlt daher die Routine. Kennst du vielleicht eine gute Seite, wo man spezielle Techniken üben kann? Vielleicht 6! * (6 über 2), weil die 6 Tage dann mit... hmm... |
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| 05.11.2012, 00:10 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das klingt gut. Eine Begründung wäre nicht schlecht.
Das klang schlecht. Nach dem Besuch der ersten Stadt wird zwei Tage planlos herumgereist, danach das "Pflichtprogramm" weiter abgearbeitet. Wiederholungen nicht ausgeschlossen. |
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| 05.11.2012, 00:18 | vendredi23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
6! ist klar, man muss jede Stadt einmal besuchen. n = 6, weil das die Anzahl der Tage ist und 2 ist die Anzahl der Möglichkeiten, die 2 Tage in Dreier- und Zweierform einzusetzen. Die Reihenfolge ist unbedeutend, da man Städte nicht wiederholen darf... ist wohl richtig erklärt, ist aber ziemlich abstrakt und wird sich mir wohl nicht einprägen. Ich sehe C(n, k) = n! / [(n-k)!*k!] nur als Variation "ohne Reihenfolge" von P(n, k) = n!/ (n-k)! |
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| 05.11.2012, 00:35 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Deine Begründung: ebenfalls
Und das ist es hier doch: Wir verteilen k=2 Verlängerungstage auf n=6 Möglichkeiten. Die Reihenfolge ist egal: Der erste Verlängerungstag ist nicht "besser" oder"wichtiger" als der zweite, da gibt es keinen Unterschied.
Mir auch nicht. Bei diesen Aufgaben muß man immer eigene Überlegungen anstellen und darf nicht zu früh auf Formeln zurückgreifen. 
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| 05.11.2012, 00:43 | vendredi23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es gilt doch (6 über 2) = (6 über 4). Aber wie kann es sein, dass bei zwei Verlängerungstagen genauso viele Möglichkeiten existieren als bei 4 aber bei beiden weniger als bei 3 Tagen, also (6 über 3)? 
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| 05.11.2012, 01:04 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich kann mir zwei Städte aussuchen, bei denen ich verlängere. Oder aber vier Städte, bei denen ich nicht verlängere, anschließend bleiben zwei Verlängerungsstädte zwangsweise übrig. Drei V'Tage kann ich einzeln an Städte anhängen, oder gesamt, oder zwei+eins... Da gibt es mehr Möglichkeiten. |
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| 05.11.2012, 01:11 | vendredi23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ach ich seh´ schon, ich habe ganz vergessen dass mit mehr Verlängerungstagen alles ganz anders wäre. Also nur um meinen Denkfehler nochmal zu berichtigen: Mit vier Verlängerungstagen wäre es eine 10-Tages-Reise und somit: 6! * .... moment mal... Also die Rechnung müsste ja irgendwie anders aussehen, aber es läuft auf´s selbe hinaus... 6! * (6 über 4), dann stimmt hier ja doch irgendwas nicht, oder? In 10 Tagen müsste es doch mehr Möglichkeiten geben. |
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| 05.11.2012, 01:18 | vendredi23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ist die Lösung vielleicht nicht 6! (6 über 2) sondern 6! (8 über 2)? Das würde dann bei mehr Tagesreisen auch eine Steigerung der Möglichkeiten bewirken. |
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| 05.11.2012, 01:58 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich hatte leider bei den Aufgaben den Überblick verloren. Man kann ja laut der Aufgabenstellung auch in einer Stadt zwei Tage verlängern. Zu den kommen noch 6 Möglichkeiten hinzu, für e) ergibt sich also |
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| 05.11.2012, 02:11 | vendredi23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Und wie sähe die Berechnung aus, wenn man bei e) aus der 8-Tages-Reise eine 10-Tages-Reise mit macht? Irgendwie fehlt bei der Berechnung noch die Berücksichtigung dieses Faktors, weil bei mehr Tagen ja auch die Anzahl der Möglichkeiten steigen muss... Verwirrung und Müdigkeit wechseln sich ab in einem Spiel aus Neugier und Enttäuschung. |
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| 05.11.2012, 02:42 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Auch wenn ich von Formeln wenig halte, würde ich jetzt doch die Formel für Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge ins Spiel bringen. k ist die Anzahl der Ziehungen, n die Anzahl der Möglichkeiten. Eine bessere Erklärung/Herleitung fällt mir vielleicht morgen ein. |
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| 05.11.2012, 02:46 | vendredi23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bin auch schon müde, gute Nacht und bis morgen 
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| 06.11.2012, 00:10 | vendredi23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also (6+2-1) --> (7 über 2) ? Vielleicht kann mir jemand anders weiterhelfen, falls opi gerade nicht da ist. Ich habe es bis jetzt leider noch nicht geschafft, diese Aufgabe zu verstehen. |
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| 06.11.2012, 00:45 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
e) Die 6! hatten wir gestern geklärt. In der eckigen Klammer stehen die Kombinationen der Möglichkeiten, an einem Ort länger zu verweilen: ist die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Tage einzeln auf sechs Städte zu verteilen ist die Anzahl der Möglichkeiten, die beiden Tage zusammenhängend zu verteilen. Mit der Formel, die ich nach der Zehntagereise schrieb, ergibt sich . Beides führt zum selben Ergebnis, letzteres ist aber abstrakter. Bei der Zehntagereise könnte man nun auch anfangen, alle Möglichkeiten einzeln durchzugehen: - vier Tage einzeln auf sechs Städte verteilen - zwei Tage zusammenhängend, die anderen beiden jeweils einzeln - ... Das würde etwas aufwendig, da greife ich dann doch lieber auf eine fertige Formel zurück.
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