Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz

04.11.2012, 23:42

diellar0

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Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz

Meine Frage:
Hallo,

die Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} e^{-\sqrt{(x-a)^{2}} } \end{eqnarray*}$

Ich dachte hier an zwei Möglichkeiten um die Aufgabe zu lösen kann mir einer sagen welche richtig ist und warum und auch warum die falsche Ableitung falsch ist.

Vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Vorschlag Nr. 1:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} e^{-\sqrt{(x-a)^{2}} } = \frac{d}{dx} e^{-((x-a)^{2})^\frac{1}{2} } = \frac{d}{dx} e^{-(x-a)^{2*\frac{1}{2} }} = \frac{d}{dx} e^{-(x-a)} = - 1 * (x-a)^{0} e^{-\sqrt{(x-a)^{2}} } = - e^{-|(x-a)| } = - e^{|(a-x)| } \end{eqnarray*}$

Vorschlag Nr. 2:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} e^{-\sqrt{(x-a)^{2}}} = \frac{d}{dx} e^{-\sqrt{(x^{2}-2ax+a^{2})}} = \frac{d}{dx} e^{-{(x^{2}-2ax+a^{2})}^{\frac{1}{2} }} = -\frac{1}{2} (2x-2a) * \frac{1}{(x^{2}-2ax+a^{2})^{\frac{1}{2}}} * e^{-\sqrt{(x-a)^{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (a-x) * \frac{1}{\sqrt{(x-a)^{2}}} * e^{-\sqrt{(x-a)^{2}}} = \frac{(a-x)}{\sqrt{(a-x)^{2}}} * e^{-\sqrt{(x-a)^{2}}} = \frac{(a-x)}{|(a-x)|} * e^{-\sqrt{(x-a)^{2}}} \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 00:22

Mathe-Maus

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Ich würde so herangehen:
$\begin{eqnarray*} f(x)= e^{-\sqrt{(x-a)^{2} } } = e^{-(x-a)} = e^{a-x} = e^a \cdot e^{-x} <br /> \end{eqnarray*}$

Den konstanten Faktor ausklammern und dann die Ableitung bilden.

LG Mathe-Maus

05.11.2012, 00:31

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Danke für deine Antwort.
Da bei dieser Aufgabe allerdings kein Definitionsbereich gegeben war würde dein Weg nur funktionieren wenn x > a wäre. Oder?

05.11.2012, 00:34

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-a)^{2}} = |x-a| \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 01:02

Mathe-Maus

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Überlege, Was wäre , wenn a<0 ?

Beispiel: x=1 und a= -8
Gäbe es da ein Problem ?

05.11.2012, 01:22

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Nein, da ja x=1 und a =-8 die Bedingung x>a erfüllt.

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05.11.2012, 01:26

Mathe-Maus

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Wie groß a bzw. wie groß x ist, bzw. (x-a) sind, ist doch vollkommen egal, da der Term quadriert wird ...

05.11.2012, 01:29

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Denn wenn die Funktion $\begin{eqnarray*} (a-x)^{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$ das erfüllt und man daraus die Wurzel zieht erledigt dies das Problem mit dem Definitionsbereich. Doch wenn man dies gegeneinander wegkürzt muss deshalb trotzdem noch der eingeschränkte Definitionsbereich beachtet werden. Oder?

05.11.2012, 01:35

Mathe-Maus

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
"Doch wenn man dies gegeneinander wegkürzt "
verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

05.11.2012, 01:45

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Na ja vielleicht hänge ich ja auch zu sehr an der Umformung, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-a)^{2}} = |x-a| \end{eqnarray*}$ ist und der Definitionsbereich, wenn man die Betragsstriche entfernt eingeschränkt ist.
Irgendwie hackts da bei mir.

05.11.2012, 01:52

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-a)^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$ aber für $\begin{eqnarray*} x-a \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} x \geq a \end{eqnarray*}$ gilt nicht immer $\begin{eqnarray*} x-a \geq 0 \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 01:56

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Betrachtet man die Ausgangsfunktion können dort nur negative potenzen stehen aufgrund der Quadrat-Wurzel und der sich darunter befindenden quadratischen Potenz doch wenn man beides einfach wegkürzt ohne den Definitionsbereich anzugeben ist die Bedingung der nur negativen Potenz nicht erfüllt.

05.11.2012, 01:58

Mathe-Maus

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
$\begin{eqnarray*} (x-a)^2 \end{eqnarray*}$ ist immer gleich/größer 0.

05.11.2012, 02:03

Mathe-Maus

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz

Zitat:

Original von diellar0
Betrachtet man die Ausgangsfunktion können dort nur negative potenzen stehen aufgrund der Quadrat-Wurzel und der sich darunter befindenden quadratischen Potenz doch wenn man beides einfach wegkürzt ohne den Definitionsbereich anzugeben ist die Bedingung der nur negativen Potenz nicht erfüllt.

Was soll dieses Wortgequirl ?

Was willst Du ?
Willst Du die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} f(x)= e^{-\sqrt{(x-a)^{2} } } = e^{-(x-a)} = e^{a-x} = e^a \cdot e^{-x} <br /> \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

05.11.2012, 02:04

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Ganz genau du sagst also das dein Argument unter der Wurzel immer größer 0 sein soll damit die Wurzel daraus gezogen werden kann, nun gibst du also mit dieser Funktion vor, dass die Wurzel größer gleich 0 ist und mit der davorstehenden Negation -da ja e^-.... da steht- die Eulersche-Funktion immer eine negative Potenz haben muss, dies muss dann aber auch für deine Ableitung gelten. Du lässt also durch diesen Trick den gesamten Definitionsbereich der rationalen Zahlen zu. Wenn nun aber keine Wurzel und kein Quadrat dort stehen hast du auch eine Eulersche Funktion mit positiven Exponenten -da e^- - => e^+ ergibt-.

05.11.2012, 02:12

Mathe-Maus

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
"Wenn nun aber keine Wurzel und kein Quadrat dort stehen hast du auch eine Eulersche Funktion mit positiven Exponenten -da e^- - => e^+ ergibt-. "

Was soll dieses Wennn und Aber ?

Du hast eine konkrete Aufgabenstellung ...

05.11.2012, 02:12

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Was ich damit sagen will ist das diese Bedingung $\begin{eqnarray*} e^{-\sqrt{(x-a)^{2}}} = e^{- ...} \end{eqnarray*}$ immer erfüllt sein muss und sie es nur ist wenn du entweder x > a ist oder |x-a| anstatt $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-a)^{2}} \end{eqnarray*}$ in der Potenz steht.

05.11.2012, 02:14

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Und wenn diese Bedingungen für die Funktion gelten müssen sie auch für die Ableitung gelten. Und da man nicht so ohne weiteres einen Betrag ableiten kann ist Vorschlag 2 der richtige.

Danke für die Diskussion mit dir, hat mir echt geholfen.

05.11.2012, 02:18

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Sorry hab deine Antwort erst später gesehen.

Zitat:

"Wenn nun aber keine Wurzel und kein Quadrat dort stehen hast du auch eine Eulersche Funktion mit positiven Exponenten -da e^- - => e^+ ergibt-. " Was soll dieses Wennn und Aber ? Du hast eine konkrete Aufgabenstellung ...

Nur eben hast du hier diese Einschränkungen und eben auf diese musst du achten, genau darum drehte sich meine Frage, daher die zwei Antwortvorschläge.

05.11.2012, 02:23

diellar0

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RE: Ableitung einer e-Funktion mit Wurzel und Quadrat in der Potenz
Danke noch mal.

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