Gleichung mit Summenzeichen direkt beweisen

05.11.2012, 04:52

anon1337

Gleichung mit Summenzeichen direkt beweisen

Meine Frage:
Für jedes $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (2^{k+1} + 3^{k-1}) = \frac{1}{2}\cdot (2^{n+3}+3^{n}-9) \end{eqnarray*}$

Das soll per direktem Beweis bewiesen werden. Der Beweis per vollständiger Induktion klappt prima, nur habe ich keinen Schimmer, wie das direkt gehen soll...

Meine Ideen:
Das Summenzeichen irgendwie umformen? Geht das überhaupt? ^.^

05.11.2012, 04:54

anon1337

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Das Thema ist mir versehentlich in das falsche Unterforum gerutscht. Sollte natürlich zu Hochschulmathematik, Entschuldigung!

05.11.2012, 05:52

Monoid

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RE: Gleichung mit Summenzeichen direkt beweisen
Nun, den I.A. Krigst du selbst hin oder? Dann schreib mal deine Ansätze hin. Man die Summe schon umformen, das geht.

05.11.2012, 06:07

anon1337

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No, no, Induktion war kein großes Problem. Es geht um den direkten Beweis! Dazu dachte ich mir, dass man die Summe irgendwie umformen muss oder sollte, aber weiter weiß ich eben nicht. :/

05.11.2012, 11:11

Bjoern1982

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Zitat:

Nun, den I.A. Krigst du selbst hin oder? Dann schreib mal deine Ansätze hin. Man die Summe schon umformen, das geht.

Wahnsinnsbeitrag. Finger1

Zitat:

Dazu dachte ich mir, dass man die Summe irgendwie umformen muss...

In der Tat, denke dabei an geometrische Summen bzw. an die entsprechenden Summenformeln dafür.

05.11.2012, 13:19

anon1337

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Vielen Dank, die Geometrische Summenformeln war schon mal ein wichtiger Hinweis. Entweder habe ich das in der Oberstufe verpasst oder meine plausiblere These ist, das wurde nicht wirklich besprochen. Wir haben nie irgendwelche Summen umgeformt o.ä., deswegen kam mir das auf den ersten Blick sehr fremd vor.

Leider hilft mit das jetzt doch nicht so sehr weiter, wie ich gehofft habe. Dieser Ansatz dürfte ja schon mal richtig sein:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (2^{k+1}+3^{k-1}) = (2^{2}+3^{0}) + (2^{3}+3^{1}) + ... + (2^{n+1}+3^{n-1}) \end{eqnarray*}$

Nur wie soll es weitergehen? Ich wäre jetzt analog zu dieser Anleitung (de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Geometrische_Summenformel) vorgegangen. Ich muss zugeben, dass das was in dieser Lösung steht für mich durchaus Sinn macht, aber ich nicht wirklich dahinter komme, wie das dann für "meine" Gleichung aussieht. Im Beispiel auf Wikipedia wird irgendwie zunächst mit der Basis multipliziert, damit man dann logischerweise ausklammern kann. Wie gesagt, dieses Beispiel habe ich denke ich schon verstanden, aber wie man sieht, hapert es dann an einer eigenen Umsetzung. :/

05.11.2012, 13:31

Bjoern1982

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Zitat:

Entweder habe ich das in der Oberstufe verpasst oder meine plausiblere These ist, das wurde nicht wirklich besprochen

Bei mir auch nicht, das habe ich auch erst in der Uni kennengelernt.
Bedeutet das, dass du diese Summenformeln nicht benutzen darfst, weil das noch nicht behandelt wurde ?

Zwischenziel wäre es zunächst den Term in der Summe auf die Form $\begin{eqnarray*} a \cdot q^k \end{eqnarray*}$ zu bringen, wobei auch ein Potenzgesetz helfen kann.

05.11.2012, 14:06

Matematyk_64

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Summenformel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n q^n = q \cdot \frac {q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=1}^n(2^{k+1}+3^{k-1}) = \sum \limits_{k=1}^n 2^{k+1}+ \sum\limits_{k=1}^n3^{k-1} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2 \sum \limits_{k=1}^n 2^{k}+ \frac{1}{3} \sum\limits_{k=1}^n3^{k} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{2^n-1}{2-1} + \frac {1}{3}\cdot 3 \cdot \frac{3^n-1}{3-1} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 4 \cdot (2^n-1) + \frac{3^n-1}{2} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} (8 \cdot (2^n-1) + (3^n-1)) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} ( 2^{n+3}-8 + 3^n-1) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} ( 2^{n+3} + 3^n-9) \end{eqnarray*}$

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