kommutativer Ring mit Eins und Körper

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stulle Auf diesen Beitrag antworten »
kommutativer Ring mit Eins und Körper
Meine Frage:
Hallo,

ich hab mal wieder 'n Problem.

Folgende Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass R= bzgl. der gewöhnlichen Addition und Multiplikation ein komm. Ring mit Eins, aber kein Körper ist. Welche Elemente aus R haben ein Inverses?

b) Zeigen Sie, dass K= bzgl. der gewöhnlichen Addition und Multiplikation ein Körper ist.

Meine Ideen:
Leider habe ich keinerlei Ideen, was ich da machen muss, und bin daher für alle Ansätze, Anregungen und Hilfestellungen dankbar! smile

Meine Vermutung liegt bei Prüfung der Assoziativ-, Kommutativ- etc. -gesetze, aber ich weiß nicht einmal, wo ich anfangen soll ...

ps. Wie kann ich "2 teilt nicht b" in Latex darstellen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kommutativer Ring mit Eins und Körper
Zitat:

ps. Wie kann ich "2 teilt nicht b" in Latex darstellen?


teilt: \mid
teilt nicht: \nmid



Gruß
Peter
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kommutativer Ring mit Eins und Körper
Assoziativgesetze, Kommutativgesetze und Distributivgesetze kann man sich sparen, da sie von vererbt werden.

Abgeschlossenheit bezüglich + und * ist zu zeigen, das sollte aber unproblematisch sein, ebenso die additiv Inversen. Das die 1 drin liegt sollte wohl klar sein.

Also die multiplikativ Inversen, diese stellen ein Problem dar, was ist denn in Q das multipliaktiv Inverse von ?

Edit: man könnte auch erst mal anfangen, ein bestimmtes Element zu finden, das kein Inverses der Multiplikation besitzt.....
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kommutativer Ring mit Eins und Körper
Zitat:
Original von stulle

Meine Vermutung liegt bei Prüfung der Assoziativ-, Kommutativ- etc. -gesetze, aber ich weiß nicht einmal, wo ich anfangen soll ...


zu a)
(Eigentlich sollte man erst mal eine Äquivalenz definieren und zeigen, dass es auch wirklich eine Äquivalenz ist, denn bei dem Ring handelt es sich um einen aus Äquivalenzklassen.)

Ansonsten:
Fang mal beim Grundlegenden an: Zeige die Addition und die Multiplikation, und dass diese je eine Abbildung definieren.

Zeige dann, dass deine Menge eine abelsche Gruppe ist unter Addition, dazu gehört auch der Nachweis eines neutralen Elements, der 0, und die Assoziativität.

Gebe ein Beispiel für ein Element der Menge, das kein Inverses hat, dass also R nur eine Halbgruppe ist unter Multiplikation (damit hättest du dann die Frage, ob die Menge ein Körper ist, erschlagen). Dazu gehört wiederum die Assoziativität, diesmal für die Multiplikation. (Du könntest auch die Kommutativität unter Multiplikation zeigen, selbst wenn das nicht zur Aufgabe gehört. Es handelt sich nämlich hier um einen kommutativen Ring mit Einseleement.)

Benenne dann das Einselement unter Multiplikation.

Gehe zum Schluss zum Distributivgesetz über.

Ich hoffe, ich habe nichts vergessen. Viel Spaß Freude .

Edit: Habe jetzt erst gesehen, dass Igrizu bereits geantwortet hat. Er hat natürlich recht, dass man sich einen Teil der Arbeit sparen kann, da Eigenschaften von vererbt werden.

Gruß
Peter
stulle Auf diesen Beitrag antworten »

das mag jetzt vllt dumm oder so klingen, aber ich weiß nicht, wie ich da mit der Addition und Multiplikation beginnen soll ... oh man ..
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wir schreiben das ganze einmal etwas anders auf:



Dann stehen unter dem Bruchstrich die ungeraden Zahlen.

Wenn man nun zwei dieser Zahlen miteinander addiert, was erhält man dann?

Nimm doch einmal , was erhälst du?
 
 
stulle Auf diesen Beitrag antworten »

na dann hab ich:



und im Nenner wären ja 2 ungerade Zahlen, die mulipliziert werden und somit wieder ungerade werden ..

aber jetzt weiß ich nicht weiter ...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Na also, das ist es eigentlich schon, der Nenner lautet:



Also ist die Summe zweier Zahlen aus dem Ring wieder in dem Ring.

Multiplikation funktioniert analog, dass der Zähler in liegt steht außer Frage....

Wie bereits geschrieben werden die meisten Gesetze aus vererbt, dass 0 und 1 in dem Ring liegen sollte auch klar sein, was bleibt also noch?

Kannst du ein Element nennen, das kein Inverses besitzt?
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