Gruppen Kommutativität / Assoziativität

Neue Frage »

Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen Kommutativität / Assoziativität
M - Menge
* - Verknüpfung auf M, dass folgende Eigenschaften erfüllt sind

- es existiert ein neutrales Element und (a*b)*(c*d) = (a*c)*(b*d), a,b,c,d in den N


Zeigen Sie, dass * kommutativ und assoziativ ist.

Idee:
Also als erstes ist nach Gegebenen das doch schon mal eine Gruppe?

Das es assoziativ ist kann man mit (a*b)*(c*d) = (a*c)*(b*d) beweisen, man muss das neutrale element e so einfügen damit es passt, aber ich hab gar keine idee wie ich anfangen soll? mit zwei elementen schaff ich es noch aber mit 4 geschockt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also als erstes ist nach Gegebenen das doch schon mal eine Gruppe?


Nein, bevor die Verknüpfung nicht assoziativ ist, hast Du keine Gruppe.

Zitat:
mit zwei elementen schaff ich es noch aber mit 4


Du musste es nicht mit vier Elementen machen. Es ist



zu zeigen. Und ja, deine Idee das neutrale Element zu benutzen ist zielführend.
Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

also dann ist

a*(b*c) = (a*b)*c

a*e = e * a

ist das so richtig ?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht was Du da machst verwirrt

Das hier

Zitat:
a*(b*c) = (a*b)*c


ist zu beweisen.
Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

in der uni hatten wir es so:

a*y=z
also a*y = x*c mit x=a*b

-> a*y = (a*b)*c
-> (a*b)^-1 *a*y =
(a*b)^-1*(a*b)*c =
b^-1*a^-1*a*y*c
-> y=(b*c)=(b*c)

also: (a*b)*c = a*(b*c)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
in der uni hatten wir es so:


Und was hat das mit der Aufgabe zu tun?

So wie ich diesen Auszug deute, ist das doch eine andere Aufgabe. Zudem benutzt Du das inverse Element von dessen Existenz wir nichts wissen. Nein benutze die Voraussetzungen

Zitat:
es existiert ein neutrales Element und (a*b)*(c*d) = (a*c)*(b*d), a,b,c,d in den N


um die Assoziativität zu beweisen.
 
 
Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt hast recht.

ich nehme dann jetzt e als neutrales element hinzu.
aber ich weiß nicht wie ich es einsetzen soll verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung

(a*b)*(c*d) = (a*c)*(b*d)

gilt für alle Elemente der Menge. Du kannst also auch spezielle Elemente einsetzen. Versuche doch mal für eine der Variablen das neutrale Element einzusetzen.
Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

für a setze ich das neutrale element ein, dann entsteht

(e*b)*(c*d)=(e*c)*(b*d), da e neutral folgt

b*(c*d)=c*(b*d)
Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

achso und wenn ich jetzt für b das neutrale element einsetze folgt

c*d = c*d ? smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
b*(c*d)=c*(b*d)


Das ist aber nicht die assoziativität.

Setze doch mal in die Ausgangsgleichung das neutrale Element für c ein.

Zitat:
c*d = c*d ?


Das gilt immer und wollten wir auch nicht beweisen.
Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

aso jetzt kommt genau das raus wie die Definition bloß eben mit d

(a*b)*d = a*(b*d).

und jetzt müssen wir noch die beweisen oder genügt es, da es definition ist?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ist die Assoziativität bewiesen. Wie die bezeichner genau heissen ist ja wurscht.
Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

ich danke dir von ganzem Herzen!

und kommutativität ist ja per definition: a*b=b*a

macht man das dann wieder mit dem neutralen element?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das geht, fast wie oben.
Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

dann setze ich wieder das neutrale element ein und kann dann mit dem inversen weitermachen!?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Mach erst mal die Kommutativität. Du musst zweimal das neutrale Element einsetzen.
Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich zuerst für a einsetze kommt:

b*(c*d) = c*(b*d) und dann für d:

b*c = c*b

ist das schon fertig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Japp, fertig !
Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

manchmal sieht man den wald vor bäumen nicht...

hat man damit jetzt auch bewiesen, dass es eine gruppe ist?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das inverse Element und die Abgeschlossenheit fehlen noch.
Endoflex Auf diesen Beitrag antworten »

ok. war nur eine frage Augenzwinkern

zu einer anderen aufgabe noch:

a*b := f(f^-1(a)+f^-1(b)-1)

f ist bijektiv und geht von R->R mit f(1) = 0
und jetzt muss ich aber beweisen, dass es eine abelsche gruppe ist.

das heißt, dass ich beweisen muss das es eine gruppe ist und sie kommutativ ist.

sollte ich da am besten mit einem widerspruch beweisen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Neue Fragen bitte in einen neuen Thread posten Augenzwinkern
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »