Binomialkoeffizient

05.11.2012, 13:53

MatheMathosi

Binomialkoeffizient

Meine Frage:
Hallo ! Habe folgende Aufgabe:

Beweisen Sie die Formel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r \\ r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r + 1 \\ r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r+2 \\ r \end{pmatrix}+...+\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ r+1 \end{pmatrix} \ \ (n,r \in \mathbb{N}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich würde das per Induktion über n versuchen. Funktioniert das hier ?

Ich habe die linke Seite erstmal umgeschrieben zu

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n}\begin{pmatrix} r+i \\ r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ r+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Induktionsanfang funktioniert soweit, wenn ich unterstelle, dass $\begin{eqnarray*} r\leq n \end{eqnarray*}$ gilt.

Induktionsschritt mit n+1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1}\begin{pmatrix} r+i \\ r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r+(n+1) \\ r \end{pmatrix}+\sum\limits_{i=1}^{n}\begin{pmatrix} r+i \\ r\end{pmatrix}\overset{(I.V.)}{=}\begin{pmatrix} r+(n+1) \\ r \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n+1 \\ r+1 \end{pmatrix}=... \end{eqnarray*}$

Nun komme ich nicht mehr weiter am Schluss muss ja
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+2 \\ r+1 \end{pmatrix}\overset{bzw.}{=}\begin{pmatrix} n+1 \\ r \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n+1 \\ r+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stehen, aber ich habe oben ja ein r zuviel.(???)

Im Voraus vielen Dank für eure Hilfe !

05.11.2012, 13:58

Math1986

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RE: Binomialkoeffizient

Zitat:

Original von MatheMathosi
Meine Frage:
Hallo ! Habe folgende Aufgabe:

Beweisen Sie die Formel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r \\ r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r + 1 \\ r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r+2 \\ r \end{pmatrix}+...+\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ r+1 \end{pmatrix} \ \ (n,r \in \mathbb{N}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich würde das per Induktion über n versuchen. Funktioniert das hier ?

Ich habe die linke Seite erstmal umgeschrieben zu

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n}\begin{pmatrix} r+i \\ r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ r+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Umformung verstehe ich nicht.
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\binom{r+i}{r}=\binom{r+1}{r}+\binom{r+2}{r}+\ldots+\binom{r+n}{r} \end{eqnarray*}$
Das ist nicht das, was gesucht ist.

05.11.2012, 14:07

MatheMathosi

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Ohh ok das ist Unsinn. Es muss natürlich lauten

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n-r} \begin{pmatrix} r+i \\ r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ r+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt passts auch mit der Induktion.

Danke dir Freude

05.11.2012, 16:23

Math1986

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Es geht aber auch ohne Induktion:
Dazu beachte man, dass nach Definition des Binomialkoeffizienten gilt
$\begin{eqnarray*} \binom n r =0\text{ für }n<r \end{eqnarray*}$

Nun verwendet man die Darstellung
$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{r+1}=\binom nr + \binom n{r+1}=\binom nr + \binom {n-1}r + \binom {n-1}{r+1}=\ldots \end{eqnarray*}$

Zeichne dir die Summanden der linken Summe und das Endergebnis mal im Pascalschen Dreieck ein, und schau dir an, wie man da vorgeht.

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Binomialkoeffizient

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