Existenz des Grenzwertes

05.11.2012, 14:21

Babbel15

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Existenz des Grenzwertes

Meine Frage:
Ich muss A,B Element von R so bestimmen, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \frac{(\sqrt{4x^2+3x+1}-\sqrt{x^2+Ax+B})}{sin^2x} \end{eqnarray*}$ existiert und diesen dann berechnen. Bitte um Hilfe da ich mich momentan nicht auskenne

Meine Ideen:
Leider nix

06.11.2012, 10:18

Bronco Bamma

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RE: Existenz des Grenzwertes
Dazu 3 Hinweise:

1. Es gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac x{\sin(x)}=1 \end{eqnarray*}$

2. Die 3. binomische Formel (um den Bruch geeignet zu erweitern!)

3. Die Grenzwertsätze

06.11.2012, 14:11

Babbel15

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RE: Existenz des Grenzwertes
sorry das x vor dem Bruch gehört nicht hin

06.11.2012, 14:21

Bronco Bamma

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RE: Existenz des Grenzwertes
Das ändert an den Hinweisen genau nichts!

06.11.2012, 14:53

Babbel15

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habe jetzt für A=3 und B=1, der Grenzwert müsste so existieren. Nur verstehe ich nicht, wie ich anhand der binomischen Formel den Bruch erweitern soll um den Grenzwert zu berechnen?

06.11.2012, 14:58

Bronco Bamma

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Wie lautet denn die 3. bin. Formel?

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06.11.2012, 15:00

Babbel15

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(a+b) * (a-b) = a^2-b^2
danke verstehe jetzt was du meinst Freude

Freude

06.11.2012, 15:18

Babbel15

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habe den Zähler erweitert und wenn ich x gegen 0 gehen lasse bekomme ich 2 heraus. Jedoch müsste laut online grenzwert berechnung 3 herauskommen... Bin am verzweifeln

06.11.2012, 15:32

HAL 9000

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Wenn du nur falsche Endwerte statt der ausführlichen Rechnung zeigst, können wir dir nur schwer bei der Fehlersuche helfen.

06.11.2012, 15:35

Bronco Bamma

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Betrachte mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{4x^2+3x+1}-\sqrt{x^2+Ax+B}}{\sin^2(x)}=\frac 1{\sqrt{4x^2+3x+1}+\sqrt{x^2+Ax+B}}\cdot\frac{x^2}{\sin^2(x)}\cdot\left(3+\frac{3-A}x+\frac{1-B}{x^2}\right) \end{eqnarray*}$

06.11.2012, 16:03

Babbel15

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habe jetzt mit den 3. binomischen lehrsatz so erweiter: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{((\sqrt{4x^2+3x+1} + \sqrt{x^2+3x+1})*(\sqrt{4x^2+3x+1}-\sqrt{x^2+3x+1}))}{sin^2x} \end{eqnarray*}$ und sehe nicht wie ich auf deine Lösung kommen soll

06.11.2012, 16:06

HAL 9000

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"Erweitern" ist eine werterhaltende Operation: D.h., das was im Zähler dranmultipliziert wird, muss auch im Nenner dranmultipliziert werden!!!

Wenn man so wie du nur im Zähler multipliziert, dann verändert, ja man muss sagen verfälscht man den Term. unglücklich

unglücklich

06.11.2012, 16:13

Babbel15

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Ok, dann muss ich den Nenner so erweitern: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{((\sqrt{4x^2+3x+1} + \sqrt{x^2+3x+1})*(\sqrt{4x^2+3x+1}-\sqrt{x^2+3x+1}))}{sin^2x * \sqrt{4x^2+3x+1} * \sqrt{x^2+3x+1}} \end{eqnarray*}$ ? Nur bringt mich das auch nicht sonderlich weiter

06.11.2012, 16:20

HAL 9000

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"Bringt mich nicht weiter" ist der dümmste Spruch überhaupt, den ich kenne. unglücklich

unglücklich

Es wäre an der Zeit, dass du die binomische Formel

Zitat:

Original von Babbel15
(a+b) * (a-b) = a^2-b^2

im Zähler endlich mal anwendest.

06.11.2012, 16:30

Babbel15

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$\begin{eqnarray*} ((\sqrt{4x^2+3x+1} + \sqrt{x^2+3x+1})*(\sqrt{4x^2+3x+1}-\sqrt{x^2+3x+1}) = \sqrt{4x^2+3x+1} - \sqrt{x^2+3x+1} \end{eqnarray*}$ habe ich die binomische Formel nicht schon auf diese weise angewendet?

06.11.2012, 16:33

HAL 9000

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Finger1

Richtig ist natürlich

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{4x^2+3x+1} + \sqrt{x^2+3x+1}) \cdot (\sqrt{4x^2+3x+1}-\sqrt{x^2+3x+1}) &=& \sqrt{4x^2+3x+1}^2 - \sqrt{x^2+3x+1}^2 \\ &=& (4x^2+3x+1) - (x^2+3x+1) \end{eqnarray*}$ .

06.11.2012, 16:39

Babbel15

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Ah ok die binomische Formel sieht so aus oder:

$\begin{eqnarray*} ((\sqrt{4x^2+3x+1} + \sqrt{x^2+3x+1})*(\sqrt{4x^2+3x+1}-\sqrt{x^2+3x+1}) = (4x^2+3x+1) - (x^2+3x+1) \end{eqnarray*}$

06.11.2012, 16:40

Babbel15

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hab deine antwort gar nicht gesehen ^^

06.11.2012, 16:55

Babbel15

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dann sieht es jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{(4x^2+3x+1)-(x^2+3x+1)}{sin^2x*\sqrt{4x^2+3x+1}*\sqrt{x^2+3x+1} } \end{eqnarray*}$

Jedoch verstehe ich nicht wie ich auf die Version von Bronco Bamma komme?

06.11.2012, 16:59

HAL 9000

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Zum einen hast du schon A=3,B=1 eingesetzt, was du besser noch hättest verschieben sollen. Zum anderen kannst du ja den Zähler vereinfachen, d.h. die Polynomkoeffizienten zusammenfassen, wie es sich gehört.

Ansonsten hat Bronco Bamma nur den Term $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$ abgespalten, um den Sinus da "aus der Schusslinie" zu bringen - völlig legitim.

06.11.2012, 17:12

Babbel15

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ok das mit dem sinus verstehe ich nicht ganz
ich habe den sinus jetzt drinnen gelassen und es so stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{sin^2x*\sqrt{4x^2+3x+1}+\sqrt{x^2+Ax+B}}*(3+\frac{3-A}{x}+\frac{1-B}{x^2} \end{eqnarray*}$

Passt es so auch oder muss das mit dem sinus sein?

06.11.2012, 17:15

Babbel15

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ok das mit dem sinus muss sein, jedoch verstehe ich nicht woher der zähler x^2 kommt?

06.11.2012, 17:17

HAL 9000

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Nein, was du zunächst stehen hast, muss irgendwie so aussehen

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2+(3-A)x+1-B}{\sin^2(x)\cdot (\sqrt{4x^2+3x+1}+\sqrt{x^2+Ax+B})} \end{eqnarray*}$

Den Zähler durch x^2 zu teilen, wie es im Term $\begin{eqnarray*} \left( 3+\frac{3-A}{x}+\frac{1-B}{x^2}\right) \end{eqnarray*}$ geschieht, geht nur, wenn du dieses x^2 wieder korrigierst - eben deshalb ja die Abspaltung von $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Ich finde deine "Sorgfalt" bei Termumformungen einfach nur niederschmetternd erschreckend. In meinen Augen muss ich dir da knallhart die Hochschulreife absprechen. unglücklich

unglücklich

06.11.2012, 17:22

Babbel15

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ja hab es genau so stehen nur diese Abspaltung vom sinus verstehe ich gar nicht

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