Beweis Bild A Teilmenge Bild B

05.11.2012, 14:21

ElCommandante

Beweis Bild A Teilmenge Bild B

Hallo,

brauche mal wieder Eure Hilfe!

Sei $\begin{eqnarray*} f: X\rightarrow Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A,B \subset X \end{eqnarray*}$ .

Es gilt zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} A \subset B \Rightarrow f(A) \subset f(B) \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} f(A):= f(y)|y\in X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \subset B \Rightarrow C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C= f(A) \subset f(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ( y\in A \wedge y\in B ) \Rightarrow C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow [f(y):y\in A] \wedge [f(y):y\in B]\Rightarrow C \end{eqnarray*}$
Ist der Äquivalenzpfeil richtig und ist der Schritt von y zu f(y) so machbar?

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y\in f(a) \wedge y\in f(B) \Rightarrow C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y\in f(a) \subset y\in f(B) \Rightarrow C \end{eqnarray*}$

Was ja wahr wäre, weil aus wahrem wahres Folgt.

05.11.2012, 14:36

Gast11022013

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RE: Beweis Bild A Teilmenge Bild B

Zitat:

Original von ElCommandante

$\begin{eqnarray*} f(A):= f(y)|y\in X \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht.

$\begin{eqnarray*} f(A)=\left\{f(x):x\in A\right\} \end{eqnarray*}$

Und was dieses C soll, verstehe ich nicht so wirklich bzw. ich finde es nicht gut aufgeschrieben.

05.11.2012, 14:41

ElCommandante

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Dachte mit dem C spare ich mir etwas schreibarbeit.

$\begin{eqnarray*} f(A):= f(y): y\in A \end{eqnarray*}$ muss ich ändern. Ist dann aber nicht trotzdem der Schritt

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow [f(y):y\in A] \wedge [f(y):y\in B]\Rightarrow C \end{eqnarray*}$ richtig? Da schreibe ich das y ja als Element aus A.

05.11.2012, 15:28

ElCommandante

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Nochmal überarbeitet:

$\begin{eqnarray*} A\subset B \Rightarrow f(A) \subset f(B) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A \wedge x\in B \Rightarrow f(A)\subset f(B) \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} f(A):= (f(x): x\in A) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} x\in f(A)\wedge x\in f(B) \Rightarrow f(A)\subset f(B) \end{eqnarray*}$

Oder ist das logische und hier wieder fehl am Platze? Wenn ja, wie kann ich das denn anders schreiben?

05.11.2012, 15:56

RavenOnJ

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überleg dir mal, was mit Elementen in $\begin{align*} A \end{align*}$ passiert. Worauf werden die abgebildet? Können sie Elemente außerhalb von $\begin{align*} f(B) \end{align*}$ sein?

Gruß
Peter

05.11.2012, 16:13

RavenOnJ

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Zitat:

Original von ElCommandante
Sei $\begin{eqnarray*} x\in A \wedge x\in B \Rightarrow f(A)\subset f(B) \end{eqnarray*}$

Das folgt nicht, denn im Allgemeinen kann es Elemente von $\begin{align*} A \end{align*}$ geben, die nicht zum Durchschnitt $\begin{align*} A\cap B \end{align*}$ gehören. Deswegen kann diese Aussage allein nicht stimmen.

Zitat:

Original von ElCommandante
Sei $\begin{eqnarray*} x\in A \wedge x\in B \Rightarrow f(A)\subset f(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\in f(A)\wedge x\in f(B) \Rightarrow f(A)\subset f(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} x \end{align*}$ gehört im Allgemeinen nicht sowohl zu $\begin{align*} A \end{align*}$ wie auch zu $\begin{align*} f(A) \end{align*}$ , da $\begin{align*} A\not\subset Y \end{align*}$

Gruß
Peter

05.11.2012, 17:05

ElCommandante

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Elemte von A können keine Elemente außerhalb von f(B) sein.
Sie werden also Abgebildet auf f(B) ?!
Aber weiter..?

In etwa so?

$\begin{eqnarray*} \exists x\in (A\cap B) \Rightarrow f(A)\subset f(B) \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 18:30

ElCommandante

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