kurvendiskussionen, Nullstellen + Horner

05.11.2012, 13:52

Tipso

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kurvendiskussionen, Nullstellen + Horner

Hi,

Ich komme hier nicht weiter, bitte um Tipps:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{4} *x^3 - \frac{1}{4} * x^2 - 4x + 4 \end{eqnarray*}$

1.
Lösung durch teiler von 4 = 1.

N_1 = (1/0)

2.
Jetzt setzte ich dies in den Horner und erhalte die Gleichung des zweiten Grades:

$\begin{eqnarray*} y = x^2 - x - 16 \end{eqnarray*}$

Dabei ist es wichtig das vor dem x^3 nichts steht für den Horner?
Stimmt dies?

Was mache ich?

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{4} *x^3 - \frac{1}{4} * x^2 - 4x + 4 \end{eqnarray*}$
multipliziere mit 4 und erhalte:

$\begin{eqnarray*} y = x^3 - x^2 - 16x + 16 \end{eqnarray*}$

3.
Setze in die PQ-Formel und erhalte folgende Lösungen:

x_1 = 4,47

x_2 = - 4,47

Ergebnis laut Lösungsbuch: 4, -4.

Wo ist mein Fehler?
Rechenfehler? oder Formelfehler? bzw. Umsetzungsfehler??

2.
Die berechneten unteren Grade, also Grad 2 und Grad 1 sind auch die Ableitung der Funktion?

lg

05.11.2012, 16:50

Equester

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Da bisher noch niemand geantwortet hat (ich dir aber nicht wirklich beim Horner helfen kann,
hier aber nicht wirklich dein Problem ist).

1. Ja, das ist richtig. Wir haben einen Nullpunkt bei N(1|0).

2. Hmm, sieht alles gut aus was du machst. Ich vermute also nur einen Rechenfehler beim Horner.
Du hast das -x zu viel....am Besten kommt da y=x²-16 raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Richtig ist deine Multiplikation mit der 4.
Mach also einfach nochmals den Horner und es sollte passen. Der Ansatz selbst ist von dir richtig gewählt.

3.
Wenn ich dich richtig verstehe fragst du, ob die Funktionen die man nach dem Anwenden vom
Horner erhält den Ableitungen entsprechen.
Das ist im allgemeinen nicht so. Du kannst dividieren mit was du willst und tust das für gewöhnlich
mit einer Nullstelle. Das hat aber nichts mit der Bestimmung der Ableitung zu tun.

05.11.2012, 20:18

Tipso

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Zitat:

3.
Wenn ich dich richtig verstehe fragst du, ob die Funktionen die man nach dem Anwenden vom
Horner erhält den Ableitungen entsprechen.
Das ist im allgemeinen nicht so. Du kannst dividieren mit was du willst und tust das für gewöhnlich
mit einer Nullstelle. Das hat aber nichts mit der Bestimmung der Ableitung zu tun.

Ich dachte dies, da sowohl bei der Ableitung als auch beim Horner wir immer einen Grad runter gehen, also von x^3 zu x^2.

Ich würde gerne diese Aufgabe auch durchführen, da ich danach noch eine mit x^4 zum Abschluss alleine schaffen muss.

Meinen Fehler habe ich nun gefunden.

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{4} *x^3 - \frac{1}{4} * x^2 - 4x + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = x^3 - x^2 - 16x + 16 \end{eqnarray*}$

Horner:

$\begin{eqnarray*} y = x^2 - 16 \end{eqnarray*}$

x_1 = 4

x_2 = -4

Also Nullstellen:

(-4/0), (4/0), (1/0)

Ich hoffe mal die Reihenfolge ist richtig.

Für Extrempunkte siehe:
Kurvendiskussionen - Ableitung + Extermstellen

4.
Wendepunkte

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{4} *x^3 - \frac{1}{4} * x^2 - 4x + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{4}*3 *x^2 - \frac{1}{4}*2 * x - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 0,75 *x^2 - 0,5* x - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 2*0,75 *x - 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 1,5 *x - 0,5 \end{eqnarray*}$

Was ich machen muss:

Ich setze die 2 Ableitung auf 0. Damit erhalte ich den x-Wert meines Wendepunktes, indem ich diesen in meine Anfangsgleichung einsetze erhalte ich meinen y-Wert.

$\begin{eqnarray*} y'' = 1,5 *x - 0,5 = 0 \end{eqnarray*}$ / +0,5//1,5

x_1 = 1/3

x_2 = - (1/3)

Diese setze ich in die Anfangsgleichung und erhalte meinen y-Wert.

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{4} *x^3 - \frac{1}{4} * x^2 - 4x + 4 \end{eqnarray*}$

y_1 = 2,65 (aiufgerundet)

y_2 = 5,3 (aufgerundet)

Ich gehe dann weiter auf Wendetangenten.

05.11.2012, 20:26

Equester

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Hey, das ist gar nicht mal schlecht Freude

Freude

.

Beim Horner hast du deinen Fehler gefunden und die Nullstellen passen.
Wie du deine Nullpunkte anordnest ist übrigens dir überlassen.

Die Extrempunkte machst du mit Gmasterflash. Hab den Thread jetzt nicht durchgelesen,
aber er wollte sich ja wieder melden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Die Ableitungen sind alle richtig Freude

Freude

.
Du hast auch ganz richtig den Ansatz für den Wendepunkt gewählt.

Doch da ist nun ein kleiner Fehler. Wie kommst du auf x2=-1/3?
Wir haben hier nirgends die Wurzel gezogen, wo das x2 hätte herkommen können.
Vergessen wir den Teil, dann passt wieder der Rest. Also der Wendepunkt W(1/3|2.65) ist richtig Freude

Freude

.

Wir haben eine Wendetangente am Punkt W. D.h. für y=mx+b kennen wir schon x und y.
Da m der Steigung des Graphen am Punkt W entspricht, können wir m auch leicht bestimmen.
Dann wäre nur noch b unbekannt und von daher kein Problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Dass du sowohl bei Horner als auch beim Ableiten um einen Grad niedriger gehst ist auch schon
die einzige Gemeinsamkeit. Sonst hat das nicht viel miteinander zu tun Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

05.11.2012, 20:33

Tipso

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5. Wendetangente

Was ich brauche?
Die Wendepunkte.

Ich setze diese in die erste Ableitung, den x-Wert und erhalte k.
Immer noch nicht weiß ich warum ich den x-Wert einsetzen muss und warum ich dann die Steigung erhalte.

Die erste Steigung gibt die Steigung an, soweit ist es mir klar. Der Zusammenhang zum k?!

$\begin{eqnarray*} k = y' = 0,75 *x^2 - 0,5* x - 4 \end{eqnarray*}$

W((1/3)/2,65)

k = - 4,08

y = k * x + d

2,65 = - 4,08 * (1/3) + d

Was ich bei der Umformung nicht verstehe, warum darf ich nicht /(-4,08) und /(1/3) sondern muss zuerst -4,08 mit (1/3) multiplizieren und dann das Ergebnis auf die andere Seite ziehen.

d = 4,01

y = k * x + d

y = -4,08 * x + 4,01

Warum gebe ich die Geradengleichung am Ende so an?
Ich habe ja eigentlich alle Werte davon? Ab wann kann ich diese zeichnen?
Welche Werte brauche ich damit ich diese zeichnen kann?
Wie zeichne ich diese?

6.
Graf
Lass ich mal aus.
Zeichnen mit allen wichtigen Punkten und Wendetangente.
Was ist wichtig bei der Zeichnung der Wendetangente?
Es steht diesmal auch kein Deffinitionsbereich zum zeichnen, wie in der letzten Aufgabe..

7.
Monotonieverhalten

Wichtig:
Von dem Grafen ablesen wie sich die Funktion in den offenen Intervallen und in den Spezialpunkten verhaltet.
Dazu die richtige Schreibweise mit ][ und auch ob es offen oder geschlossen ist und dazu ob wir etwas ausnehmen.

Was muss ich genau betrachten?
Was ist hier sehr wichtig?

05.11.2012, 20:41

Equester

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Ui, da war ja mein Post davor unnötig. Sehr gut Freude

Freude

.
Klappt ja wie am Schnürchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Wenn man die Rundungswerte akzeptiert ist deine Geradengleichung richtig Freude

Freude

.

Nun dividierst du, so wie du das machen willst, musst du beachten, dass du auch bei d dividiere musst.
Das ist ja immerhin ein Summand! Deswegen erst zusammenzählen und dann den Summanden abziehen.

Die Geradengleichung gibt man so an, weil das Konvention ist. Wenn du y und x drin lässt ist
das keine Gerade, sondern schlicht eine (wahre) Gleichung für einen ganz bestimmten Punkt.
Erst mit y=kx+d haben wir die Geradenform (mit k und d ersetzt).
Zeichnen kannst du diese Tangente sofort. Dafür brauchst du ja nur zwei Punkte, da es ja nur eine
Gerade ist. Einen Punkt hast du ja schon. Das ist einfach W. Nimm noch ieinen anderen Punkt
(Einfach x oder y wählen und ausrechnen), dann kannst du die Tangente einzeichnen.

Graph:
Zur Wendetangente siehe oben.
Wenn der Definitionsbereich nicht angegeben ist, ist es an dir ein interessantes Intervall zu wählen,
in dem du zeichnen willst. Meist so, dass alle wichtigen Punkte drin sind (und diese nicht ganz am
Rand, sondern man erahnen kann, wie es rechts und links wohl weiter aussehen wird).

7.
Genau das was du schon selbst gesagt hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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05.11.2012, 20:42

Tipso

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7.
Monotonieverhalten

Wichtig:
Von dem Grafen ablesen wie sich die Funktion in den offenen Intervallen und in den Spezialpunkten verhaltet.
Dazu die richtige Schreibweise mit ][ und auch ob es offen oder geschlossen ist und dazu ob wir etwas ausnehmen.

Was muss ich genau betrachten?
Was ist hier sehr wichtig?[/quote]

Edit:
Dabei schaue ich auf die X-Werte und gehe von - unendlich zu + unendlich?
So ist die richtige Vorgehensweise, wenn ich es richtig verstanden habe.

05.11.2012, 20:43

Equester

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Genau

Augenzwinkern

.

05.11.2012, 20:57

Tipso

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Zitat:

Dafür brauchst du ja nur zwei Punkte, da es ja nur eine
Gerade ist. Einen Punkt hast du ja schon. Das ist einfach W. Nimm noch ieinen anderen Punkt
(Einfach x oder y wählen und ausrechnen), dann kannst du die Tangente einzeichnen.

Link wäre am Besten oder eine kurze Erklärung.

Zitat:

7.
Genau das was du schon selbst gesagt hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Dazu die richtige Schreibweise mit ][ und auch ob es offen oder geschlossen ist und dazu ob wir etwas ausnehmen.

Geschlossen heißt dabei das es nicht mehr weiter geht [ und offen das es weiter geht [

also [ ] wäre demnach geschlossen, geschlossen
[[ geschlossen, offen
][ offen, offen
]] offen, geschlossen

Was ist hier sehr wichtig?
Extrempunkte und offene Intervalle

Warum?

Weil sich hier das Monotonieverhalten verändert.
Eine Funktion kommt demnach von unendlich geht bis zu einem hoch oder Tiefpunkt und von dort zu einem Hoch oder Tiefpunkt, also von H zu T oder von T zu H und geht dann wieder zu unendlich. + oder -

In meinem Beispiel:

streng monoton wachsend $\begin{eqnarray*} [- \infty ;2] \end{eqnarray*}$
streng monoton fallend $\begin{eqnarray*} [-2; (8/3)] \end{eqnarray*}$

8.
krümmungsverhalten

Wichtig:
Wendepunkt, da hier auf dem x-Wert eine Veränderung des krümmungsverhalten geschieht.

k = positiv: $\begin{eqnarray*} ]1/3; \infty[ \end{eqnarray*}$
negativ: $\begin{eqnarray*} ]-\infty; 1/3[ \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 21:16

Equester

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Da brauchst du keinen Link^^.
Eine Gerade kannst du doch mit deinem Geodreieck zeichnen, sobald du min. 2 Punkte hast, oder?
Genau diese zwei Punkte musst du nun bestimmen.
Dafür berechne einfach einen Punkt. Wie wenn du einen Wertetabelle machen würdest.
Den zweiten Punkt brauchst du nicht zu berechnen. Den kennst du schon -> W.
Zeichne beide Punkte ein und du hast deine Möglichkeit die Gerade zu zeichnen.

Zitat:

Geschlossen heißt dabei das es nicht mehr weiter geht [ und offen das es weiter geht [

Nein, das passt nicht. Geschlossen bedeutet, dass der Wert dazugehört.
Offen bedeutet, dass dieser nicht dazugehört. Wenn du eine Ungleichung hast
hast du zum Beispiel $\begin{eqnarray*} 3\leq x<4 \end{eqnarray*}$ . Das entspricht diesem Intervall: [3;4[.
Das heißt x darf 3.00000000 sein, aber nicht 4.00000, sondern nur 3.9999998.
Du verstehst was ich sagen will? Ich versuchs grad wieder im Slang Big Laugh

Big Laugh

.

Deine Aussage inwiefern die Extrema wichtig sind, stimmt dann im folgenden! Dir fehlt aber noch
das dritte Intervall vom Tiefpunkt bis in die Unendlichkeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Die Krümmung passt auch Freude

Freude

05.11.2012, 21:34

Tipso

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Zitat:

Geschlossen heißt dabei das es nicht mehr weiter geht [ und offen das es weiter geht [

Was ist mit weiter gemeint?

Warum wird in unserem Fall -unendlich ausgeschlossen aber wir gehen von -unendlich bis zu 2 - weil es bis dahin streng steigt.

Das Lösungsbuch sagt übrigens:

streng monoton wachsend

$\begin{eqnarray*} ]- \infty ;-2[,]8/3;\infty[ \end{eqnarray*}$

Was bedeutet dies genau, was hat das [,] zu bedeuten?
Warum -2 ausgenommen?
Warum 8/3 ausgenommen?
Warum + unendlich ausgenommen?

streng monoton fallend $\begin{eqnarray*} ]-2; 8/3[ \end{eqnarray*}$
Warum - 2 ausgenommen bzw 8/3?

Zitat:

Nein, das passt nicht. Geschlossen bedeutet, dass der Wert dazugehört.
Offen bedeutet, dass dieser nicht dazugehört. Wenn du eine Ungleichung hast
hast du zum Beispiel $\begin{eqnarray*} 3\leq x<4 \end{eqnarray*}$ . Das entspricht diesem Intervall: [3;4[.
Das heißt x darf 3.00000000 sein, aber nicht 4.00000, sondern nur 3.9999998.
Du verstehst was ich sagen will? Ich versuchs grad wieder im Slang Big Laugh

Big Laugh

.

Leider verstehe ich den Slang viel besser als das Hochdeutsch, ich wünschte es wäre anders.

Ich muss schon mehrmals darüber nachdenken bis ich es verstehe.

Deine Aussage inwiefern die Extrema wichtig sind, stimmt dann im folgenden!

Zitat:

Dir fehlt aber noch
das dritte Intervall vom Tiefpunkt bis in die Unendlichkeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Ich glaube du meinst:

$\begin{eqnarray*} ]8/3;\infty[ \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 21:42

Equester

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Das unendlich wird ausgeschlossen, da es keine echte Zahl ist.

Die -2 wird ausgeschlossen, da wir hier keine strenge Monotonie haben, da die erste Ableitung
hier 0 ist. Nach der Definition von "strenge" Monotonie aber, muss die Ableitung aber immer
positiv oder negativ sein, aber nicht 0.

haha, das ist ein normales Komma
$\begin{eqnarray*} ]- \infty ;-2[,]8/3;\infty[ \end{eqnarray*}$

oder auch:
$\begin{eqnarray*} ]- \infty ;-2[<br /> ]8/3;\infty[ \end{eqnarray*}$
Du hast eben zwei Gebiete mit strenger steigender Monotonie.

Wenn du den Slang verstehst, kannst du ja übersetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Das Übersetzen, sollte ja dann
nicht mehr ganz so schwer fallen.

Genau, das hatte mir gefehlt.

05.11.2012, 21:56

Tipso

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k = positiv: $\begin{eqnarray*} ]1/3; \infty[ \end{eqnarray*}$
negativ: $\begin{eqnarray*} ]-\infty; 1/3[ \end{eqnarray*}$

Warum wird hier zum Beispiel 1/3 ausgenommen?

Zitat:

Wenn du den Slang verstehst, kannst du ja übersetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Das Übersetzen, sollte ja dann
nicht mehr ganz so schwer fallen.

Ich verstehe dich nur, wenn du mir es im Slang übersetzt, ich glaube aber das es jeder so lernen muss, an sich hat Mathematik seine eigene Sprache, nun kann man es mit dem Slang lernen oder auf die viel mühsamere Art, man übersetzt jedes Wort, Wort für Wort. Dann bräuchte ich 1 Jahr bis ich diese Dinge verstehe.

Es läuft normalerweiße ja so ab, das der Lehrer einem das übersetzt und der Schüler dann also durch den Slang die Mathematiksprache solange übt bis er dies beherrscht.

Leider hat dies bei mir bis dato nicht funktioniert, obwohl ich aufpasse so gut ich kann.

Ps.
Ich glaube die Aufgabe neigt sich auch dem Ende zu.

05.11.2012, 22:02

Equester

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Das 1/3 hast du doch selbst schon beantwortet Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Das ist die Wendestelle.

Es ist gut, dass du weiterhin dran bleibst und nicht aufgibst.
So wie du aber die letzte (also diese) Aufgabe gelöst hast, war das aber schon sehr gut.
Das meiste hast du ja vollständig alleine gemacht und ich habe es nur bestätigen müssen Freude

Freude

.

05.11.2012, 22:16

Tipso

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Zitat:

Original von Equester
Das 1/3 hast du doch selbst schon beantwortet Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Das ist die Wendestelle.

Es ist gut, dass du weiterhin dran bleibst und nicht aufgibst.
So wie du aber die letzte (also diese) Aufgabe gelöst hast, war das aber schon sehr gut.
Das meiste hast du ja vollständig alleine gemacht und ich habe es nur bestätigen müssen Freude

Freude

.

Es geht bergauf, natürlich gebe ich mir noch 1-2Wochen um alles zu verinnerlichen aber ich muss dranbleiben da danach Intergral kommt, Extrempunkte etc.

Wird nicht einfach alles. Big Laugh

Big Laugh

Danke für die Hilfe. Freude

Freude

05.11.2012, 22:17

Equester

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Mit Ehrgeiz (und den hast du offensichtlich) geht alles Freude

Freude

.

Gerne und gute Nacht,
Wink

Wink

05.11.2012, 22:31

Tipso

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g8

Freude

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