Kurvendiskussionen - Ableitung + Extermstellen

05.11.2012, 15:10

Tipso

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Kurvendiskussionen - Ableitung + Extermstellen

Hi,

Ich suche die Ableitung und Extremstellen, ich finde leider meinen Fehler nicht:

Ableitung 1+ 2:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{4} *x^3 - \frac{1}{4} * x^2 - 4x + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{4}*3 *x^2 - \frac{1}{4}*2 * x - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 0,75 *x^2 - 0,5* x - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 2*0,75 *x - 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 1,5 *x - 0,5 \end{eqnarray*}$

soweit alles richtig?

05.11.2012, 15:31

Gast11022013

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Das sieht soweit korrekt aus.
smile

smile

05.11.2012, 15:51

Tipso

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Bei den Extremstellen erhalte ich leider dennoch falsche Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{4}*3 *x^2 - \frac{1}{4}*2 * x - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 0,75x^2 - 0,5 x - 4 \end{eqnarray*}$ /:0,75

$\begin{eqnarray*} y' = x^2 - (0,5/0,75) x - (4/0,75) \end{eqnarray*}$

Nun die PQ-Formel um die x-Werte meiner Extremstellen zu berechnen?

Ich erhalte leider falsche Ergebnisse, weshalb ich hier nachfrage ob mein Vorgehen überhaupt richtig ist?

lg

05.11.2012, 15:52

Gast11022013

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Ja, wobei du natürlich anstatt y' einfach eine Null schreiben solltest, da die Bedingung für den Extrempunkte, welche du hier ja anwendest

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

ist.

Nun einfach, wie gesagt, die PQ-Formel anwenden.

05.11.2012, 15:56

Tipso

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Ich erhalte als Ergebnis:

x_1 = 3,07

x_2 = 0,66

lg

ps.
Thx für den Tipp.

05.11.2012, 16:41

Gast11022013

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Da ist dir bei der PQ-Formel ein Fehler unterlaufen:

$\begin{eqnarray*} 0.75x^2-0.5x-4=0 \end{eqnarray*}$

geteilt durch 0.75

$\begin{eqnarray*} x^2-\frac23x-\frac{16}3=0 \end{eqnarray*}$

PQ-Formel:

Jetzt die PQ-Formel:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Hier ist

$\begin{eqnarray*} p=-\frac{2}{3}<br /> <br /> q=-\frac{16}{3}<br /> \end{eqnarray*}$
Die Ergebnisse sollten

$\begin{eqnarray*} x_1=-2<br /> <br /> x_2=\frac{8}{3}<br /> \end{eqnarray*}$
sein.
Da hast du einen Fehler irgendwo eingebaut.

Leider muss ich nun weg. Ich kann später nochmal reingucken, ansonsten kann hier aber auch gerne jemand anders weiter machen.
Wenn du die korrekten x-Werte hast, dann musst du diese nur noch in f(x) bzw. deine Funktion einsetzen um den y-Wert zu bekommen. Du bist also beinahe am Ziel.

smile

smile

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05.11.2012, 17:00

Tipso

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Hallo,

Leider erhalte ich die Ergebnisse immer noch nicht:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-p}{2} \end{eqnarray*}$ =

Hier ist

$\begin{eqnarray*} -\frac{p}{2} = 1/3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(\frac{p}{2})^2 = 0,1111 \end{eqnarray*}$

q = -(-4) = 4

Ich erhalte dennoch nicht die richtigen Ergebnisse.

lg
ps.
Bis später.

05.11.2012, 21:50

Gast11022013

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q ist ja auch nicht 4 sondern $\begin{eqnarray*} \frac{16}{3} \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 22:09

Tipso

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Jetzt die PQ-Formel:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

So ärgerlich, da ich immer noch nicht das richtige Ergebnis erhalte, habe sicher mehrere Stunden mit Unterbrechung damit verbracht.

$\begin{eqnarray*} p = 0,5/0,75 = 0,666666667 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q = 4/0,75 = 5,333333333 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-p}{2} = 0,333333333 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(-q) = 5,33333333 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{-p}{2} \right)^2 = 0,111111111 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe so meinen Fehler zu finden.

lg

05.11.2012, 22:12

Gast11022013

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Schreibe lieber Brüche. Die sind doch so viel schöner.

Bisher passt das alles. Du musst einen Fehler beim Wurzelziehen machen.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{1}{3}\pm\sqrt{\frac19+\frac{16}{3}} \end{eqnarray*}$

Das nun in den TR eintippen, oder im Kopf lösen. Es kommen schöne Werte raus.

05.11.2012, 22:22

Tipso

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Jetzt erhalte ich auch:

[latex]x_1=-2

x_2=\frac{8}{3}

Ich erhalte bei x_2 aber 2,666666667 was auch 8/3 ist.
Nur ausgerechnet, ich gehe davon aus das du dies mit Brüche berechnet hast und deshalb einen Bruch als Ergebnis hast.

Weißt du vielleicht wie ich von der Zahl 2,66666667 auf den Bruch 8/3 komme, mit oder ohne Taschenrechner. Also Quasi die Umkehrung/funktion (weiß nicht wie man es schreibt) einer Division.

lg

05.11.2012, 22:27

Gast11022013

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Was $\begin{eqnarray*} 0,\overline{6} \end{eqnarray*}$ als Bruch ist sollte bekannt sein.
Das sind $\begin{eqnarray*} \tfrac23 \end{eqnarray*}$

Also sind

$\begin{eqnarray*} 2,\overline{6}=2\frac23=\frac83 \end{eqnarray*}$

Andernfalls gibt es im TR auch eine Taste $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ im Normalfall, womit du die Umkehrfunktion bilden kannst.

05.11.2012, 22:39

Tipso

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Im TR erhalte ich nur 0,375 wenn ich x^{-1} drücke.

Die andere Variante ist nachvollziehbar.

lg

05.11.2012, 22:45

Gast11022013

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Im Idealfall weißt du, dass

$\begin{eqnarray*} 0,375=\frac38 \end{eqnarray*}$

sind und kannst dann auf die Form des Bruches schließen.
Diese Taste hilft dir natürlich nur bedingt weiter.

Es ist aber auch eigentlich egal, ob du 2,6666... oder 8/3 schreibst.

05.11.2012, 22:59

Tipso

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Verstehe thx.

Ja eben, ich bräuchte es im Taschenrechner in der Bruchform.
Leider gibts sowas wahrscheinlich nicht, das ich was eingebe und 8/3 als Ergebnis erscheint.

Neue Erfindungs Idee? X) ... hehe

06.11.2012, 14:14

Tipso

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Da ist dir bei der PQ-Formel ein Fehler unterlaufen:

$\begin{eqnarray*} 0.75x^2-0.5x-4=0 \end{eqnarray*}$

geteilt durch 0.75

$\begin{eqnarray*} x^2-\frac23x-\frac{16}3=0 \end{eqnarray*}$

PQ-Formel:

Jetzt die PQ-Formel:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Hier ist

$\begin{eqnarray*} p=-\frac{2}{3}<br /> <br /> q=-\frac{16}{3}<br /> \end{eqnarray*}$
Die Ergebnisse sollten

$\begin{eqnarray*} x_1=-2<br /> <br /> x_2=\frac{8}{3}<br /> \end{eqnarray*}$
sein.
Da hast du einen Fehler irgendwo eingebaut.

Leider muss ich nun weg. Ich kann später nochmal reingucken, ansonsten kann hier aber auch gerne jemand anders weiter machen.
Wenn du die korrekten x-Werte hast, dann musst du diese nur noch in f(x) bzw. deine Funktion einsetzen um den y-Wert zu bekommen. Du bist also beinahe am Ziel.

smile

smile

Warum nehmen wir eigentlich hier die PQ Formel und warum hat diese zwei Lösungen?

Ich meine die Gleichung geht gegen Null also erhalten wir die X-Werte auf der Höhe null von der Funktion.

lg

06.11.2012, 20:08

Gast11022013

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verwirrt

Wir suchen die stellen der Funktion, wo sie Null wird. Da wir eine quadratische Gleichung der Form

$\begin{eqnarray*} 0=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

vorliegen haben, ist die PQ-Formel der schnellste Weg eine Lösung zu erhalten. Man hätte auch die quadratische Ergänzung machen können, oder versuchen mit Vieta was zu reißen. Für letzteres sind die Ergebnisse aber zu unschön. Da müsste man schon einen sehr guten Blick haben.

Die Funktion geht ja nicht gegen Null wie du es sagst. Es handelt sich doch um eine Funktion 2. Grades. Ich glaube du kommst da gerade ein wenig durcheinander.

Wir suchen die Nullstellen, also die Punkte wo die x-Achse geschnitten wird.

06.11.2012, 20:25

Tipso

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Verstehe thx.

Die PQ-Formel darf ich aber nur bei einem x mit der Potenz 2 verwenden, bei anderen muss ich Faktorisieren. x)

lg

06.11.2012, 20:29

Gast11022013

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So gesehen schon. Du musst zusehen, dass die Funktion in der Normalform steht. Also der Faktor vor dem x² gleich Eins ist und die Gleichung gleich Null gesetzt ist.

Die PQ-Formel kann man auch für Funktionen der Form

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4+x^2+1 \end{eqnarray*}$

anwenden.
Auch wenn man diese Funktion mittels Substitution auf eine quadratische Gleichung vorher zurückführt.

Andere Lösungtechniken wäre noch die Polynomdivision, oder direktes Wurzelziehen, quadratische Ergänzung, usw.

Dabei ist natürlich darauf zu achten, ob die Lösungstechnik hier zum Ziel führt.

Ansonsten andere Fragen die in diese Richtung gehen bitte wieder in einen neuen Thread stellen, um hier die Übersicht zu bewahren.

Danke.
smile

smile

06.11.2012, 21:08

Tipso

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Alles klar.

Last:
Wäre interessant wie diese bei der von dir geposteten Funktion mit einer Potenz im 4 Grad aussähe..

lg

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