Funktionen - Beweise x Element

05.11.2012, 16:04	christoph90	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen - Beweise x Element Guten Tag, ich habe eine Funktionsgleichung an der wir einfach nicht zu einer Lösung kommen. Die Aufgabe befindet sich im Anhang. Nach langem Hund her haben wir einen geringen Ansatz hinbekommen, aber wissen nicht ob wir auf dem richtigen weg sind bzw. wie es weiter geht. Könnte jemand vielleicht einen Tipp geben.. Unseren Lösungsvorschlag haben wir ebenfalls im Anhang beigefügt.
05.11.2012, 16:28	magic_hero	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das gerade in wenigen Schritten hinbekommen. Tipps: Verwendet die Additionstheoreme und weitere Eigenschaften und fangt auf der rechten Seite mit cos(4x) an. Hier eine Liste der Dinge, die ich verwendet habe: $\begin{eqnarray} cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)<br /> sin(x+y) = sin(x)cos(y) + sin(y)cos(x)<br /> sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \end{eqnarray}$ Wählt dabei einfach x und y geschickt, oft hilft es sogar, sie gleich zu wählen. Falls es irgendwo scheitert, kann ich gerne noch mal nachhelfen, aber eigentlich müsste das damit gut klappen.
05.11.2012, 16:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine weitere Möglichkeit wäre, den Realteil der Moivreschen Formel $\begin{eqnarray} \cos(4x) + i\sin(4x) = \left( \cos(x) + i\sin(x) \right)^4 \end{eqnarray}$ zu betrachten - natürlich nur, wenn dir komplexe Zahlen vertraut sind.
06.11.2012, 16:26	christoph90	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für eure Unterstützung! Also ich habe mich nochmal beigesetzt und auf der rechten Seite [cos(4x)] mit einem Gesetz versucht habe die 4x aufzulösen. Erhlichgesagt habe ich das ganze so noch nicht gemacht, möchte es aber verstehen. Habe meinen Versuch nochmal mit hochgeladen. Könnten Ihr vielleicht die erste Methode mit den Theoremen erklären, denn mir fehlt zum Schluss um die Additionstheoreme anzuwenden die Multiplikationen. Auch bin ich mir nicht ganz sicher ob es richtig ist cos(4x) auf die andere Seite zu bringen, denn eigendlich muss ich doch, beispielsweise wenn ich für x = unendlich wähle folgendes aus der zu lösenden Gleichung erholten unendlich = unendlich damit ich zeigen kann das x Element aller Reellen Zahlen von 0 bis unendlich ist. Im zweiten schritt würde man doch dann - unendlich einsetzen um X Element aller reellen Zahlen zu zeigen oder denke ich da falsch?
06.11.2012, 17:41	magic_hero	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollen das Äquivalenzumformungen sein? Die erste und zweite Zeile sind schon mal nicht äquivalent (d.h. die Umformung auf der rechten Seite der Gleichung); setz einfach mal $\begin{eqnarray} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ein. Die retslichen Umformungen sehen okay aus, bringen aber nicht wirklich etwas. Der Tipp unten sieht schon mal ganz gut aus, aber da ist ein Fehler; es gilt nämlich: $\begin{eqnarray} cos(2y)=1-2sin^2(y) \end{eqnarray}$ Ich habe das jetzt bewusst mit y statt mit x geschrieben, denn jetzt fang mal mit cos(4x) an, indem du diesen (korrigierten) Tipp verwendest. Setze also y=2x. Danach betrachte zunächst einmal sin(2x) statt sin²(2x) und nutze die zweite Identität aus meinem ersten Beitrag aus (setze y=x). Dann noch einmal die dritte Identität aus meinem ersten Beitrag verwenden und schon hast du es.
13.11.2012, 23:29	christoph90	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich denke ich habe verstanden wie es funktioniert, ich habe begonnen die rechte Seite aufzulösen, sodass ich auf beiden Seiten das gleiche stehen habe. Jedoch habe ich beim Auflösen Probleme den mit dem PFEIL markierten Ausdruck auszuklammern bzw. Weiter aufzulösen. Ich habe das jetzt schon ein duzend mal Probiert und wie Ihr vielleicht mitbekommen habt über mehrere Tage. Ich war schon ganz knapp vor dem Ergebnis, jedoch nur ganz knapp. Habe mal mein letzten Versuch hochgeladen und wäre über einen Tipp sehr dankbar.
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