koch'sche schneeflockenkurve

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05.11.2012, 18:43	nicole93	Auf diesen Beitrag antworten »
koch'sche schneeflockenkurve Meine Frage: Hallo ihr Lieben, ich soll folgende Aufgabe lösen: Wir konstruieren die Koch'sche Schneeflockenkurve. Hierzu starten wir mit einem gleichseitigen Dreieck der Kantenlänge 1. Im ersten Schritt wird in die Mitte jeder Seite ein gleichseitiges Dreieck der Kantenlänge 1/3 angeklebt. Im zweiten Schritt wird an jede der entstandenen 12 Seiten nun ein gleichseitiges Dreick der Kantenlänge 1/9 angekelbt, usw. Die Länge der Kurve nach dem n-ten Schnitt sei xn. a) Berchne die Länge von x2,x3 und x4 b) eine Formel für die Länge der Kochschen Kurve ist gegeben durch $\begin{eqnarray} xn= 3 (\frac{3}{4}){n} \end{eqnarray}$ . Warum wird die Kurve im Limes die Länge unendlich haben? Ab welchem n ist die Kurve xn länger als 100? c) Zeigen sie die Richtigkeit der Formel mit vollständiger Induktion. Meine Ideen:* zu a)x2= 1/3 x3= 1/9 x4= 1/12 zu b) (4/3)^n = 4^n/3^n da der Exponent oben schneller wächst als unten, geht der bruch im unendlichen gegen unendlich lim n-> oo = 3oo= oo 100 < 3 (4/3)^n 100/3 < (4/3)^n ln(100/3) < n4/3 3/4 ln (100/3) < n ist das richtig? bin mir da stark unsicher! c) Induktionsanfang n=1 3 (4/3)^1= 4 induktionsvoraussetzung: A(n) ist wahr induktionsschritt: n-> n+1 3 * (4/3)^n+1 hier habe ich jetzt keine ahnung, wie man das weiter rechnen soll! ich wäre dankbar für jede hilfe!!
05.11.2012, 19:16	magic_hero	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der a) hast du etwas falsch verstanden... $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ beschreibt die Länge der Kurve! Mal dir diese mal auf, dann siehst du das bestimmt. Vor dem ersten Schritt ist die Kurve ja ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge 1, also hat die Kurve da ja Länge 3. Danach wird sie immer länger, also sollte x_1 größer als 3 sein, x_2 größer als x_1 usw., was man ja auch in b) sieht. Bei der b) hast du dich in der Aufgabenstellung offensichtlich verschrieben (die 4 und die 3 vertauscht). Die Konvergenzaussage passt, bei den Äquivalenzumformungen fehlt der Logarithmus bei 4/3. Außerdem solltest du dann noch das entsprechende n berechnen. Bei der c) musst du noch dazu sagen, dass der Induktionsanfang passt, indem du dich auf das in a) berechnete x_1 beziehst (das eben 4 sein sollte). Im Induktionsschritt musst du einfach eine ganz normale Induktion durchführen, d.h. die Induktionsvoraussetzung einsetzen und schließlich zeigen, dass $\begin{eqnarray} x_{n+1}=3(4/3)^{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt.
05.11.2012, 19:28	nicole93	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der b) hast du dich in der Aufgabenstellung offensichtlich verschrieben (die 4 und die 3 vertauscht). Die Konvergenzaussage passt, bei den Äquivalenzumformungen fehlt der Logarithmus bei 4/3. Außerdem solltest du dann noch das entsprechende n berechnen. ok- wenn ich das jetzt mit dem ln mache, habe ich: ln(100/3)/ln(4/3)< n leider dürfen wir keinen taschenrechner benutzen, also auf die gefahr hin, dass meine frage dumm ist, aber wie bestimme ich denn dann n konkret?
05.11.2012, 19:38	magic_hero	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme stark an, dass in diesem Fall durchaus die Benutzung eines Rechners erlaubt ist.
05.11.2012, 19:42	nicole93	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, ok also tipp ich das einfach ein und erhalte dann 12,18 und dann ist das mein n, also alle zahlen die größer sind als 12,18?
05.11.2012, 19:44	magic_hero	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht alle Zahlen, sondern nur die natürlichen. Ein halber Schritt (oder sonst ein Teilschritt) ergibt ja nicht so viel Sinn
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05.11.2012, 19:48	nicole93	Auf diesen Beitrag antworten »
ok- ja klar also ist mein ergebnis dann 12<n ich würde ja abrunden bei 12,18.. oder doch 13<n oh nein ich bin doof! das ist ja das mit den folgen.. also mein n0=13, oder?
05.11.2012, 19:50	magic_hero	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle natürlichen Zahlen echt größer als 12 oder größer gleich 13, wie du willst.^^
05.11.2012, 19:51	nicole93	Auf diesen Beitrag antworten »
super, danke jetzt habe ich es auch verstanden

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