Erzeugung einer Untergruppe

05.11.2012, 18:32

Miiaaa

Erzeugung einer Untergruppe

Meine Frage:
Meine Frage ist: Wie sieht die erzeugte Untergruppe <r> von r=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} ??
Vielen Dank schon mal im voraus smile

Meine Ideen:
ich habe leider keine Idee unglücklich

05.11.2012, 18:37

Miiaaa

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RE: Erzeugung einer Untergruppe

Zitat:

Original von Miiaaa
Meine Frage:
Meine Frage ist: Wie sieht die erzeugte Untergruppe <r> von r=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} ??
Vielen Dank schon mal im voraus smile

Meine Ideen:
ich habe leider keine Idee unglücklich

r= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 18:41

Reksilat

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
Hallo Miiaaa,

Poste bitte die komplette Aufgabenstellung. Was ist die Operation in der Gruppe und aus welcher Grundmenge stammen die Matrixeinträge?

Gruß
Reksilat

05.11.2012, 18:43

Miiaaa

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
Also r ist eine Permutation von der symmetrischen Gruppe S3.
Mehr Infos habe ich leider nicht.

05.11.2012, 18:53

Reksilat

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
Ach so. smile

Na dann überlege Dir doch mal, was so alles in dieser Untergruppe $\begin{eqnarray*} \langle r\rangle \end{eqnarray*}$ drin sein muss. Insbesondere muss das ja wieder eine Gruppe sein und eine Gruppe enthält immer ein ...

Und wenn $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ drin ist, so ist, da eine Gruppe ja unter Multiplikation abgeschlossen ist, auch was drin?

Sammle einfach ein paar Elemente und schau, ob das dann schon eine Gruppe wird.

05.11.2012, 19:00

Miiaaa

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
Aha. Muss denn die Untergruppe wieder eine Abbildung sein? Ja, oder?

05.11.2012, 19:05

Reksilat

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
Eine Untergruppe ist eine Menge und keine Abbildung. In diesem Fall enthält sie Abbildungen (nämlich Permutationen).
Es geht jetzt darum, außer r noch weitere Elemente zu finden.

05.11.2012, 19:12

Miiaaa

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
ist außer r ist noch das neutrale Element enthalten?

05.11.2012, 19:17

Reksilat

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
Das ist korrekt. Wir haben jetzt also r und die Identität (= das neutrale Element) in <r> gefunden

Und nun?
Ist zu jedem Element das Inverse drin?
Ist das Produkt zweier beliebiger (möglicherweise gleicher) Elemente wieder drin?

05.11.2012, 19:21

Miiaaa

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
Ja, zu jedem Element müsstes ist ein Inverses geben (nach Definition einer Gruppe, oder?)
Das Produkt wahrscheinlich auch, aber wie kann ich zwei Abbildungen miteinander multiplizieren bzw. wie schreibe ich das auf?

05.11.2012, 19:25

Reksilat

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RE: Erzeugung einer Untergruppe

Zitat:

Ja, zu jedem Element müsstes ist ein Inverses geben (nach Definition einer Gruppe, oder?)

Genau. Deshalb frage ich Dich ja, ob das erfüllt ist.

Zitat:

Das Produkt wahrscheinlich auch, aber wie kann ich zwei Abbildungen miteinander multiplizieren bzw. wie schreibe ich das auf?

Die Multiplikation ist hier die Hintereinanderausführung.
$\begin{eqnarray*} r\cdot r \end{eqnarray*}$ ist hier eben einfach das, was rauskommt, wenn Du zweimal die Abbildung $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ausführst.

05.11.2012, 19:30

Miiaaa

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
ok smile

soweit habe ich das jetzt verstanden.

ist dann die von r erzeugte Untergruppe <r>= { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ }

weil $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 19:32

Miiaaa

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RE: Erzeugung einer Untergruppe

Zitat:

Original von Miiaaa
ok smile

ich meinte die untere Zeile anders:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ *
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 19:39

Reksilat

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
Genau. Das passt! Freude

05.11.2012, 19:41

Miiaaa

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
Super smile

Danke für deine Geduld Augenzwinkern

Ich hätte da aber noch eine Frage: Wie bestimme ich die kleinste Untergruppe von S3? Was ist da das Kriterium?

05.11.2012, 19:44

Reksilat

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
Die kleinste Untergruppe ist immer die, die nur das neutrale Element enthält.

Bin jetzt auch vorerst weg.

Guten Abend. Wink

05.11.2012, 19:45

Miiaaa

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RE: Erzeugung einer Untergruppe
Ok, danke. Tschüss Wink

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