Zwei Abschätzungen

05.11.2012, 20:53

Anahita

Zwei Abschätzungen

Hi

Ich kann folgende zwei Abschätzungen nicht nachvollziehen:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n > n(n-1)x^2/2 \end{eqnarray*}$

was offenbar aus dem Binomialtheorem folgt - ich hab nur nicht rausgefunden wie (Tipp?)

sowie für x > 0:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} < 1/2*x^n/n! \end{eqnarray*}$

Ich hab letzteres auch mit n! = (n+1)!n etc. geschrieben und umgeformt, bin aber nicht auf einen grünen Zweig gekommen..

Für Tipps bin ich wie immer sehr dankbar :-)

05.11.2012, 20:58

Helferlein

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RE: Zwei Abschätzungen

Zitat:

Original von Anahita
Ich hab letzteres auch mit n! = (n+1)!n etc. geschrieben und umgeformt, bin aber nicht auf einen grünen Zweig gekommen..

Wenn Du das wirklich gemacht hast, wundert es mich nicht, denn die Gleichung n! = (n+1)!n ist falsch.

Beim ersten hilft es, wenn Du dir den Binomialtherm mal aufschreibst. Die rechte Seite kommt darin vor.

05.11.2012, 21:22

Anahita

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natürlich hab ichs gemacht, warum sollte ich es denn sonst behaupten?
tst.
Und ja, sorry: (n+1)! = n!(n+1)

Werds umformen.

05.11.2012, 21:43

Helferlein

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RE: Zwei Abschätzungen
Vielleicht sollte ich noch erwähnen, dass die zweite Ungleichung, so wie sie dasteht, auch nicht stimmen kann:

z.B. ist für x=10 und n=2

$\begin{eqnarray*} \frac{10^{3}}{3!} =\frac 53 \cdot 10^2 > 25 = \frac 12 \frac{100}2 \end{eqnarray*}$

05.11.2012, 21:45

Anahita

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Hab das erste kapiert:

$\begin{eqnarray*} (x+1)^n = \sum\limits_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k \ \end{pmatrix} x^k \end{eqnarray*}$

Wir haben hier k = 2 und bin(n,2) = n(n-1)/2. Und ich schwör beim Weihnachtsmann ich habs selbst umgeformt ;-)

Beim zweiten komme ich aber immer noch nicht auf einen grünen Zweig, ich komm durch umformen auf:

$\begin{eqnarray*} x^n*x < \frac{1}{2}(n+1)*x^n \end{eqnarray*}$

..scheint mir nicht der richtige Weg zu sein.

Lg

05.11.2012, 21:48

Helferlein

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Fehlt da in der Summe nicht eine "Kleinigkeit" ?

05.11.2012, 21:56

Anahita

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Habs korrigiert.
Ich verstehe das Zweite immer noch nicht und komme auch wie du zu unsinnigen Sachen. Ich werde nachfragen, ob das nur unter bestimmten Bedingungen gilt (ich nehms an...). Vielen Dank

05.11.2012, 21:58

Helferlein

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vermutlich soll x zwischen 0 und 1 liegen, aber Du fragst besser noch mal nach.
Gerade auf Hochschulniveau muss man sehr präzise vorgehen, was natürlich nur geht, wenn die Rahmenbedingungen klar sind.

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