Differenzierbarkeit auf den reellen Zahlen an der Stelle 0 |
06.11.2012, 08:02 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Differenzierbarkeit auf den reellen Zahlen an der Stelle 0 Hallöchen, meine Aufgabe lautet: Untersuchen Sie, welche der folgenden auf ganz definierten Funktionen an der Stelle 0 differenzierbar sind, und berechnen Sie gegebenfalls die jeweilige Ableitung an der Stelle: i) ii) iii), falls x < 0 exp(x), falls iv), falls und 0, Meine Ideen: Nun kenne ich Differenzierbarkeit so, dass grafisch eine Funktion genau dann differenzierbar ist, wenn an jedem Punkt des Graphen von f genau eine Tangente existiert. Außerdem wenn die Funktion differenzierbar ist, dann folgt automatisch, dass sie stetig ist. Nun reicht das alles hier leider nicht. Deswege bitte ich um Hilfe, danke. |
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06.11.2012, 15:19 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ihr ja ja Differenzierbarkeit sicherlich in der Vorlesung definiert, und zwar über die Existenz des Grenzwerts eines sog. Differenzenquotienten. Setze deine Funktionen nun entsprechend in die Definition ein und beachte, dass die Stelle, in der du Differenzierbarkeit untersuchen willst, 0 ist! |
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06.11.2012, 17:07 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich soll die Funktion in den Differenzenquotienten einsetzen? Ich glaube das ist nicht mit der Definition gemeint. Aber pruefen muss ich doch die Differenzierbarkeit an der Stelle Null? Mit dem Differenzenquotienten? Koennte mir das vielleicht jemand illustrieren bitte? |
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06.11.2012, 17:31 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wahrscheinlich habe ich mich etwas zu ungenau ausgedrückt, also: Eine Funktion heißt differenzierbar in , wenn der folgende Grenzwert existiert: (bzw. reicht natürlich auch ein kleinerer Definitionsbereich als die reellen Zahlen, z.B. ein offenes Intervall D, wobei x_0 dann natürlich aus aus D sein muss) Du willst jetzt Differenzierbarkeit in 0 prüfen; also ist bei dir . Nun schau dir diese Grenzwerte an für deine gegebenen Funktionen f. Wenn der Grenzwert existiert, dann ist das jeweilige f in 0 diff'bar. |
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07.11.2012, 08:19 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der gute Wikipedia-Artikel das kenn ich schon danke Oki dann berechnen wir doch mal den Grenzwert explizit für i) was sagt uns das jetzt |
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07.11.2012, 08:23 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
somit haben wir doch dann stehen und jetzt? |
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07.11.2012, 10:42 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Limes fehlt noch.... außerdem steht das nur da, falls x>0, aber das kannst du hier (in diesem speziellen Fall) gerne mal annehmen. Was ist denn jetzt, wenn du x gegen 0 laufen lässt? Beachte im Nenner noch . |
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07.11.2012, 14:01 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay also dann also konvergiert es gegen Null? |
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07.11.2012, 15:02 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn ich das aber ausfuehre, dann habe ich gezeigt, dass die Ableitung an der Stelle Null exisitiert. Damit habe ich aber nicht gezeigt, dass der Grenzwert exisitert. Somit habe ich doch aus der Behauptung aus bewiesen und das ist nicht korrekt, oder? Wie zeige ich aber die Existenz des Grenzwertes? |
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07.11.2012, 15:50 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit Sicherheit konvergiert dieser Ausdruck für x gegen 0 nicht gegen 0.
Die Ableitung an der Stelle 0 existiert genau dann, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle 0 existiert. In diesem Fall ist der Grenzwert dann die Ableitung in 0, d.h.: Die Aufgabe ist es dementsprechend zu zeigen, dass der Grenzwert an der Stelle 0 existiert. Das kann man aber gleich damit verbinden, dass man den Grenzwert ggf. ausrechnet. Jetzt stell dir zunächst noch mal die Frage bei Teilaufgabe a), ob der Grenzwert denn wirklich existiert, indem du dir noch mal über den Grenzwert des Ausdrucks in deinem vorletzten Beitrag machst. Bestimme also, falls möglich: (wobei das nur für positive x geht, weil der Ausdruck andernfalls undefiniert wäre). |
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08.11.2012, 03:21 | Der Ehrgeizige | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jetzt kann ich mein wählen und ja es existiert der Grenzwert und er ist Null. |
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08.11.2012, 08:36 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Ehrgeizige Du bringst da was durcheinander. Der Grenzwert existiert natürlich nicht. Wie sollte er? Der Ausdruck strebt über alle Grenzen. Gruß Peter |
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08.11.2012, 08:38 | JuKa91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo ich habe mit Hilfe der h-Behauptung gearbeitet und bekam die eigentliche Ableitung von der Behauptung i) raus. |
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08.11.2012, 08:43 | Der Ehrgeizige | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So muss es auch gehen. Das ist korrekt... |
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08.11.2012, 08:49 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie wär's, wenn ihr euch die Funktion mal grafisch vorstellt? sollte bekannt sein. Sie hat eine senkrechte Tangente im Punkt 0. ist nichts anderes als und dasselbe nochmal an der y-Achse gespiegelt für negative x, zwar im Punkt 0 stetig, aber nicht differenzierbar. Gruß Peter |
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08.11.2012, 08:52 | Un-aachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, dass würde mich mal interessieren wie ein richtiger Lösungweg aussieht Muss man eigentlich dann den grenzwert einmal von x>0 und einmal von x<0 berechnen und wenn diese gleich sind ist die Fkt an der Stelle x0 dff'bar ? Danke :-) |
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08.11.2012, 09:01 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich nehme an, du meinst die Grenzwerte des Differenzenquotienten (DQ). Natürlich muss man beide Grenzwerte bilden. Beide müssen existieren, müssen also beschränkt sein. (diese Bedingung ist bei am Punkt 0 verletzt) Außerdem müssen rechts- und linksseitiger Grenzwert des DQ gegen denselben Wert streben (diese Bedingung wäre bei am Punkt 0 verletzt). Gruß Peter |
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08.11.2012, 09:06 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ohje stimmt wie blöd bin ich... (danke) |
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08.11.2012, 09:11 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vllt möchte ja jemand dies mal zeigen, weil ich kriege das nicht raus die anderen Beispiele würde ich alleine versuchen, wenn ich mal etwas richtiges auf'm Papier habe und mich Anhand dessen orientieren kann. |
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08.11.2012, 09:26 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dein Ansatz, mit dem du letztendlich auf gekommen bist, war doch gut. Du hättest dann nur noch diesen Limes richtig behandeln müssen (Zähler konstant, Nenner geht gegen 0 --> Limes geht gegen Unendlich). Dasselbe könntest du für negative x machen, ist hier aber unnötig, da schon der rechte Grenzwert des DQ nicht existiert. Gruß Peter |
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08.11.2012, 09:30 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun und wie mache es mit dem Limes Zähler konstant, Nenner geht gegen 0, Limes geht gegen Unendlich |
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08.11.2012, 09:36 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dieser Limes geht - wie schon mehrfach gesagt! - gegen Unendlich, d.h. er existiert nicht! Stell dir doch beispielsweise mal die Funktion um den Punkt 0 vor. Gruß Peter |
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08.11.2012, 09:38 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja die Funktion divergiert.. Ich weiß trotzdem nicht wie ich das aufschreiben. |
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08.11.2012, 09:41 | Un-aachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nach dem ganzen hin und her habe ich auch kein Plan mehr :-( Also ich habe beide Grenzwerte gebildet und die sind unterschiedlich , also ist die Funktion in x0 nicht differenzierbar :-) hoffentlich |
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08.11.2012, 09:46 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was meinst du damit? "Limes existiert nicht" oder "Limes strebt gegen Unendlich", das ist alles, was soll man da mehr schreiben? Vielleicht drückst du dich mal klarer aus. Gruß Peter |
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08.11.2012, 09:48 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Musterlösung für i) deinerseits wäre super.. |
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08.11.2012, 09:51 | Un-aachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei dem lim gegen unendlich strebt die fkt gegen null und bei einem lim gegen null 0 strebt die fkt gegen unendlich. |
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08.11.2012, 09:53 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, ich finde, ich habe hier schon genug Energie reingesteckt. Lies dir meine Posts einfach nochmal durch. Dann solltest du dir die Lösung selber aufschreiben können. Mehr als ich geschrieben habe, kann ich nicht dazu sagen. Gruß Peter |
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08.11.2012, 09:58 | Un-aachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1/x strebt bei x gegen null gegen unendlich und dass heißt die fkt ist in null nicht differenziebar ? Eigentlich ja nicht oder denken wir zu kompliziert ............ Danke Peter für dein bemühen ... super hilfsbereit .... danke :-) |
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08.11.2012, 10:02 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hat an der Stelle 0 eine Polstelle (d.h. strebt über alle Grenzen), kann also dort auch keine Ableitung haben. Gruß Peter |
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08.11.2012, 10:12 | Un-aachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und dass sollte man zeigen oder wie ? Mehr nicht ? |
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08.11.2012, 10:18 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ging bei der Aufgabe zwar nicht um 1/x (das war nur ein Beispiel für einen nicht-existierenden Limes), aber im Prinzip ging es bei Aufgabe i) genau darum, mehr nicht. Allerdings beim Differenzenquotienten, nicht bei der Funktion selber! Gruß Peter |
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08.11.2012, 10:26 | Un-aachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmmm okay danke :-) schon früh am Morgen Hilfe zu bekommen ist super |
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08.11.2012, 12:12 | Un-aachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also habe mit Hilfe der h Methode raus 1/2sqrt(x) .... das guckt man sich dann an von unendlich bis minus unendlich.... und die ist dann nicht differenzierbar ..... |
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08.11.2012, 13:50 | Un-aachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
08.11.2012, 13:57 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mit so puuu edit von sulo: Habe einen Zeilenumbruch für die bessere Lesbarkeit des Threads eingefügt. |
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08.11.2012, 15:50 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was du da zuletzt berechnet hast, ist zwar soweit richtig, wurde in der Aufgabe aber gar nicht gefordert (es wird nur nach Differenzierbarkeit in 0 gefragt!).
Ich verstehe deine Aussagen nicht wirklich. Die ursprünglich Funktion ist für x>0 (und auch für x<0) differenzierbar. Schließlich hast du ja auch die Ableitung angegeben für x>0. Gefordert ist aber laut Aufgabenstellung, Differenzierbarkeit in 0 zu prüfen. D.h. bei der "h-Methode" ist deine Stelle auch eine ganz spezielle, nämlich x=0. |
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08.11.2012, 17:10 | Auch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, bin auch an der Aufgabe... Blicke nicht mehr ganz durch, ist die Funktion denn jetzt überhaupt in 0 differenzierbar, oder nicht? Also die Begründung für könnte ich nachvollziehen, denn je näher man mit x an 0 geht, desto größer wird das Ergebnis. Also ist die Funktion nicht in 0 differenzierbar? Irgendwie hatte ich jetzt das Gefühl, alle hätten was anderes geschrieben. Und ob h- oder x-Methode ist doch eigentlich egal, denke ich. |
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08.11.2012, 17:21 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Funktion aus Teil a) ist nicht differenzierbar in 0, weil der eben von dir erwähnte Grenzwert nicht existiert (so sagt man auch, wenn ein Grenzwert "unendlich" ist). |
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08.11.2012, 17:26 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
vielleicht hörst du nicht auf alle, sondern auf die, die etwas mehr Ahnung haben. Ich habe schon lang und breit auseinandergesetzt, warum diese Funktion bei 0 nicht differenzierbar ist. Gruß Peter |
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