Epsilon-Delta

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Steffi_F Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon-Delta
Hallo zusammen,

folgendes Problem: Ich schreibe morgen Ana-Klausur und bin ich recht gut vorbereitet. Nur das Epsilon-Delta Kriterium zur Stetigkeit bereitet mir noch Sorgen.

Kann mir jemand mal ein anschauliches Beispiel geben, wie ich damit (oder wie überhaupt) ich Stetigkeit einer Funktion beweise (keine gleichmäßige Stetigkeit, die hatten wir nicht.

Das wäre echt super. Aber nützt halt nur was bis heute abend Hilfe

Danke und LG
Steffi
Steffi_F Auf diesen Beitrag antworten »
ups ... sorry
Hab da was vertauscht und zwei Fragen zu einer zusammengefasst, also nochmal:

Zum einen bräuchte ich ein geeignetes und gut erklärtes Beispiel für einen Epsilon-Delta-Beweis.

Und das zweite ist der Beweis von Stetigkeit:
Wie zeige ich z.B. ob
f: IR -> IR mit
stetig oder unstetig ist?

Wäre echt super, wenn ihr mir helfen könntet!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne zunächst einmal den Limes, so daß du für f(x) eine limesfreie Darstellung bekommst (Fallunterscheidung: |x|>1, |x|=1, 0<=|x|<1). Dann sieht man schon alles.
Steffi_F Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm...
Okay es ist also unstetig, da die Funktion für |x|<=1 nicht unendlich wird.
Oder??

Und wie geht das nun mit diesem Epsilon Delta?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht. Berechne doch einfach einmal f(x) für die drei von mir genannten Fälle und schreibe das Ergebnis auf.

Edit:
... und hier noch ein Bild. Überlege selber, was es aussagt (volle Bildgröße einstellen).
Steffi_F Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm...
Achso für |x|>1 ist f(x)=0, für |x|=1 ist f(x)=1/2 und für |x|<1 ist f(x)=1.
Also unstetig, richtig??
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

That's it!
Steffi_F Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm...
Super danke Tanzen

Und was hat das nun mit diesem Epsilon-Delta Beweisen auf sich.

Kannst Du mir da mal ein einfaches Beispiel für geben, wie und wann ich das anwende?
peer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Steffi_F,

Wir weisen die Stetigkeit der Betragsfunktion nach:
Sei also | | : R -> R , x -> |x|.
Seien nun a aus R und e > 0 beliebig vorgegeben.
Wir brauchen jetzt ein d > 0, das der Bedingung
| x-a | < d => | |x| - |a| | < e
genügt (x aus R).

Wegen | |x| - |a| | <= | x-a | für alle x aus R kannst Du d := e wählen,

dann gilt für jedes x aus R mit |x-a| < d stets | |x| - |a| | < d = e
und damit ist die Stetigkeit nachgewiesen.

Die Anwendung des Epsilon - Delta Kriteriums ist bei komplizierteren Funktionen meist nicht mehr sinnvoll. Du argumentierst dann besser mit Prozessen die stetige Funktionen hervorbringen, z.B. ergeben Summen, Produkte, Quotienten, gleichmäßig konvergente Reihen, Hintereinanderschaltung, Umkehrung auf Monotonieintervallen stetiger Funktionen wieder stetige Funktionen.
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