Formulierungsfrage Kern(f)=Bild(f)

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06.11.2012, 13:06	Mbra771	Auf diesen Beitrag antworten »
Formulierungsfrage Kern(f)=Bild(f) Hallo Forum, ich habe hier eine Aufgabe zu einer linearen Abbildung f und eigentlich weiß ich schon wie ich die Aufgabe zu lösen habe. Nur eine Formulierung lässt mich etwas stutzen: Also: Sei K ein Körper und sei V=(1,T,T^2,T^4,T^6) 1. Def. Sie eine lineare Abbildung f: V nach V mit Kern(f)=Bild(f) Kern(f)=Bild(f) ??? Ist dabei gemeint Dim(Kern(f))=Dim(Bild(f))? ... weil m.M. nach doch nicht der Kern(f) mit dem Bild(f) übereinstimmen kann. Ansonsten würde ja alles stimmen, Dim(V)ist durch 2 teilbar usw. Grüße, Micha
06.11.2012, 13:31	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also im Vektorraum $\begin{eqnarray} V = \{0\} \end{eqnarray}$ gilt die Gleichung für alle Funktionen. Ansonsten ist sie aber im Allgemeinen falsch. Es hängt schon explizit von der Funktion selbst ab. Was genau ist denn in der Aufgabe mit V=(1,T,T^2,T^4,T^6) gemeint? Ich sehe etwa keine 0, wie soll V dann ein Vektorraum sein?
06.11.2012, 13:46	Mbra771	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe mal die komplette Aufgabe, bin aber leider unterwegs, weshalb ich wegen fehlender Javaunterstützung nicht den Formeleditor nutzen kann. Ich versuche mal die Aufgabe als Bild anzuhängen:
06.11.2012, 14:00	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wir haben den Vektorraum der Polynome in K und betrachten eine Teilmenge davon. Aber da haben wir schonmal das grundsätzliche Problem warum ich verwirrt war. In der Aufgabenstellung steht $\begin{eqnarray} V =\langle 1,T^2,T^4,T^6 \rangle \end{eqnarray}$ sprich, wir betrachten die lineare Hülle und da ist die 0 mit drin. Ich kann dir ja mal ein Beispiel für eine Funktion mit ker(f) = bild(f) für den Vektorraum $\begin{eqnarray} \langle 1,T\rangle \end{eqnarray}$ zeigen (über den reellen Zahlen). Die Funktion $\begin{eqnarray} f : T \mapsto \frac{df}{dx}T \end{eqnarray}$ leistet genau das. Denn $\begin{eqnarray} f(T) = 0 \Leftrightarrow T(x) = c \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Da aber für alle $\begin{eqnarray} T\in V \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} f(T) = c \end{eqnarray}$ ist für entsprechendes c, folgt $\begin{eqnarray} bild(f) \subset ker(f) \end{eqnarray}$ . Andererseits, wenn $\begin{eqnarray} T \in ker(f) \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} T = c \end{eqnarray}$ für entsprechendes T und damit $\begin{eqnarray} bild(f) =ker(f) \end{eqnarray}$ So, jetzt überleg mal wie man das allgemein für deinen Fall formuliert. Du musst nur schauen das zum Beispiel der Ableitungsbegriff direkt für allgemeine Körper eventuel keinen Sinn macht.
06.11.2012, 14:21	Mbra771	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mazze, vielen Dank für die Mühe, die du dir mit deiner Antwort gemacht hast. Ich hoffe ich verstehe dich richtig und versuche mal einen Lösungsansatz: f(1)=0 f(T^2)=0 f(T^4)=1 f(T^6)=T^2 Dann hätte ich eine Abbildung von V nach V und da f(T^4)=1 ist und 1 auf 0 abgebildet wird, also Element Kern ist und f(T^6)=T^2 ist und T^2 auf 0 abgebildet wird, also Element des Kerns ist... sollte wenn ich das jetzt richtig verstanden habe das Problem gelöst sein ;-))) Grüße, Micha PS: Hoffe du antwortest mit JA
06.11.2012, 14:23	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön. Und in einem vierdimensionalen Vektorraum ist eine lineare Abbildung natürlich durch 4 linear unabhängige Vektoren eindeutig definiert .
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06.11.2012, 14:25	Mbra771	Auf diesen Beitrag antworten »
JUPPPIIIIIII !!!!! Mathe macht glücklich!
12.11.2012, 15:34	themaktima	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mal mit gelesen. Sehr interessante Lösung und absolut elegant! Jedoch eine Sache die ich nicht verstehe: Wenn du sagt f(T^6)=T^2, dann bildet f mit T^6 aus V auf T^2 aus V ab. D.h. wenn f mit T^6 aus V auf T^2 aus V abbildet, wird T^2 doch nicht automatisch 0, oder doch? Das klingt nach Rekursion, oder ich übersehe etwas Grundlegendes. Wäre es möglich mir das zu erläutern? Besten Dank und Grüße, David
12.11.2012, 15:54	themaktima	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich glaube ich hab's! Es geht tatsächlich nur um die Abbildung, nicht darum wie V aussieht, denn Bild(f) und Kern(f) haben auch ja ausschließlich mit f zu tun, nicht mit V. D.h. wenn ich also sage f(T^6) = T^2 so ist das so lange schön und gut wie auch f(T^2) definiert ist. Korrekt? Danke!

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