Mindestens 2 Karten um Sphäre abzubilden |
| 06.11.2012, 15:16 | Dionss | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Mindestens 2 Karten um Sphäre abzubilden Wieso benötigt man mindestens 2 Karten für einen Atlas auf der Einheitssphäre? Ich komme leider nicht wirklich dahinter. Mfg |
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| 06.11.2012, 20:19 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Mindestens 2 Karten um Sphäre abzubilden Wie würde es denn deiner Ansicht nach mit einer einzigen gehen? Wie würde die Abbildung aussehen? Mit der steoreographischen Projektion bleibt immer ein "Nordpol" o.ä. übrig, den man nicht mit in die offene Menge aufnehmen kann. Für den braucht man noch eine weitere Umgebung. |
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| 06.11.2012, 20:21 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Man sollte hier ein Kompaktheitsargument bringen. |
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| 06.11.2012, 20:26 | Dionss | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Sphäre ist kompakt. Ich weiss nur nicht wie mir das weiter hilft. Eine Abbildung die die ganze Sphäre abbildet wäre nicht auf einer offenen Menge definiert. Aber könnte ich nicht eine "größere" Umgebung um die Sphäre legen, die dann offen ist? |
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| 06.11.2012, 21:29 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, die ist kompakt. Und was machen gewisse Funktionen (welche?) mit kompakten Mengen? Und eine Abbildung, die auf der gesamten Sphäre definiert ist, ist durchaus auf einer offenen Menge definiert. Was meinst du denn mit dieser "größeren Umgebung um die Sphäre"? Du betrachtest ja nur Mengen, die in der Sphäre offen sind, nicht in irgendeinem Raum, in dem du dir die Sphäre vorstellst. Hast du denn irgendeine konkrete Abbildung im Sinn? |
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| 07.11.2012, 07:51 | Dionss | Auf diesen Beitrag antworten » |
Unter stetigen Abbildungen wäre das Bild ebenso kompakt. Klingelt leider immer noch nicht. Wo ist da der Widerspruch? Ich meine eine größere Umgebung im Rn. Nein, ich sehe nur noch nicht wo es schief geht. |
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| 07.11.2012, 12:44 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schreiben wir es doch einfach mal ganz konkret hin: Eine Karte wäre eine homöomorphe Abbildung , wobei eine offene Menge des ist. Nach dem, was wir hier schon geklärt haben, ist dann kompakt. Wir wissen aber ganz genau wie die kompakten Mengen im aussehen. Und daher wissen wir auch ganz genau, dass die nicht offen sind... |
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