Abbildung zwischen Kegelschnitten

07.02.2007, 20:45

Firestormer

Abbildung zwischen Kegelschnitten

Hallo!

Meine Frage betrifft eine Aufgabe, welche es im Rahmen einer Vorlesung für Elementargeometrie zu lösen gilt. Die Fragestellung lautet wie folgt:

Es seien

$\begin{eqnarray*} P := \{(x,y)\in\mathbb R^2|y-x^2=0\}, Parabel \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E := \{(x,y)\in\mathbb R^2|x^2-y^2=1\}, Ellipse \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H := \{(x,y)\in\mathbb R^2|x^2-y^2=1\}, Hyperbel \end{eqnarray*}$

a)
Zeige, dass es keine stetige bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha: \mathbb R^2\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit stetigem $\begin{eqnarray*} \alpha^{-1} \end{eqnarray*}$ gibt, die eine dieser Kurven auf eine andere abbildet.

b)
Zeige, dass es keine affine Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha: \mathbb R^2\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gibt, die eine dieser Kurven auf eine andere abbildet.

c)
Zeige, dass es keine bijektive kollineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \kappa: \mathbb R^2\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gibt, die eine dieser Kurven auf eine andere abbildet.

Leider habe ich überhaupt keinen Plan (ich steh' total auf der Leitung), wie ich dieses Problem, welches sich ja nicht besonders schwer anhört, angehen soll.

Ich bin euch für jeden Tipp sehr dankbar!

mfG

07.02.2007, 23:50

Abakus

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RE: Abbildung zwischen Kegelschnitten
Welche Methoden stehen dir denn in der Vorlesung zur Verfügung, was dürft ihr benutzen ?

Grüße Abakus smile

08.02.2007, 00:32

riwe

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RE: Abbildung zwischen Kegelschnitten
und E:... ist sicher keine ellipse
werner

08.02.2007, 07:51

Firestormer

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RE: Abbildung zwischen Kegelschnitten

Zitat:

Original von wernerrin
und E:... ist sicher keine ellipse ...

Ja, das stimmt leider. Sry, hab mich wohl vertippt, es sollte natürlich heißen:

$\begin{eqnarray*} E := \{(x,y)\in\mathbb R^2|x^2+y^2=1\}, Ellipse \end{eqnarray*}$

Was ja hier eigentlich ein Kreis ist.

Zitat:

Original von Abakus
Welche Methoden stehen dir denn in der Vorlesung zur Verfügung, was dürft ihr benutzen ? ...

Genau hier liegt ja auch mein Problem. Wir beschäftigten uns in der Vorlesung (mit dem Titel "Elementargeometrie") hauptsächlich mit Isometrien usw. und haben uns eher nicht mit Dingen in dieser Richtung beschäftigt. Deswegen habe ich auch noch keinen Plan wo/wie ich ansetzen soll.

08.02.2007, 19:47

Abakus

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RE: Abbildung zwischen Kegelschnitten

Zitat:

Original von Firestormer

Zitat:

Original von Abakus
Welche Methoden stehen dir denn in der Vorlesung zur Verfügung, was dürft ihr benutzen ? ...

Na gut, aber irgendwelche "Werkzeuge" werdet ihr ja haben. Bei Stetigkeit kannst du zB mit der Invariante Zusammenhang argumentieren, bei affinen Abb. bzw. Kollineationen gibt es bestimmt ähnliche Invarianten. Aber die müsst ihr natürlich benutzen dürfen.

Grüße Abakus smile

14.02.2007, 10:35

Firestormer

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Hallo!

Mittlerweile ist mir klar dass es eher in die Richtung der affinen Abb. bzw. Kollineationen gehen soll - leider weiß ich jedoch immer noch nicht, wie und welche Invarianten (wie von Abakus angemerkt) ich hier ausnutzen kann/soll.

mfG

14.02.2007, 13:11

Abakus

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Irgendwelche Eigenschaften habt ihr in der Vorlesung sicher behandelt... ich kann schlecht wissen, was ihr da gemacht habt verwirrt

.

Was die Stetigkeit angeht, solltest du einige Sätze aus der Analysis kennen (Zusammenhang, kompakte Mengen usw.). Das löst zumindest a).

Wie habt ihr affine Abbildungen bzw. kollineare Abbildungen definiert ? Sind die bereits stetig ? Dann könntest du versuchen, a) einfach anzuwenden. Wenn nicht, welche Sätze habt ihr darüber gehabt ?

Grüße Abakus smile

19.02.2007, 21:27

TheDancer

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Da ich in der gleichen Vorlesung sitze, und auch mit diesem Problem kämpfe, habe ich zur Unterstützung für alle Helfer mal meine Mitschrift Online gestellt:
Mitschrift

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