Transformationsformel Diffeomorphishmus Kugelkoordinaten

06.11.2012, 18:30	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsformel Diffeomorphishmus Kugelkoordinaten Guten Abend, ich habe eine Frage bzgl. meiner vorliegenden Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \|\cdot \| \end{eqnarray}$ die Euklidische Norm im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ . Unter Verwendung von Kugelkoordinaten beantworte man die Frage, für welche $\begin{eqnarray} \alpha > 0 \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R ^3/ \left\{ 0\right\} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) := \|\|x\|\|^{-\alpha} \end{eqnarray}$ über die Menge: $\begin{eqnarray} M:= {(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb R^3 : 0<x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2} \leq 1} \end{eqnarray}$ Lebesque integrierbar ist. Also mein Anfang: Die Kugelkoordinaten im $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sind ja eigendlich: $\begin{eqnarray} x = rcos(\phi)sin(\delta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= rsin(\phi)sin(\delta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = rcos(\delta) \end{eqnarray*}$ Nun weiß ich aber nicht weiter .. wie gehe ich da vor? LG
08.11.2012, 14:24	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
das hilft dir zwar jetzt nicht bei deinem Problem, trotzdem sollte man darauf achten: Der Mann hieß Lebesgue, nicht Lebesque o.s.ä., wie ich hier schon öfters lesen musste. Gruß Peter
08.11.2012, 14:29	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \|\|x\|\|^{-\alpha} \end{eqnarray}$ ist genau dann integrierbar, wenn die Funktion $\begin{eqnarray} x -> f(\phi(x)) \|det (D \phi (x)) \end{eqnarray}$ auf M integrierbar ist. Dabei ist $\begin{eqnarray} D\phi(x) \end{eqnarray}$ die Jakobi Matrix und $\begin{eqnarray} det (D\phi(x)) \end{eqnarray}$ die Funktionaldeterminante. Inwiefern hilt mir das in meinem Bsp weiter?
08.11.2012, 17:07	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsformel Diffeomorphishmus Kugelkoordinaten Wie sehen denn die Definitionsbereiche von $\begin{eqnarray} r, \phi, \delta \end{eqnarray}$ aus? Betrachte $\begin{eqnarray} \Psi(r, \phi, \delta) = \begin{pmatrix} rcos(\phi)sin(\delta) \\ rsin(\phi)sin(\delta) \\ rcos(\delta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Berechne mal die Ableitung und dann die Determinante von $\begin{eqnarray} \Psi \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Psi \colon (...) \times (...) \times (...) \to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ sollte ein Diffeomorphismus sein. Bei den Integralgrenzen betrachtest du dann $\begin{eqnarray} \int\limits_{\Psi^{-1} (\mathbb{R}^3)} ... = \int\limits_{ (...) \times (...) \times (...)} \end{eqnarray}$ .

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