Integral berechnen

06.11.2012, 19:50

Cheftheoretiker

Integral berechnen

Hi Leute,

ich habe folgendes Integral: $\begin{eqnarray*} \int_0^2\sqrt{1-x^2}dx \end{eqnarray*}$

Nun könnte man die klassische Substitution $\begin{eqnarray*} x=asin\theta \end{eqnarray*}$ wählen, mich interessiert aber an der Stelle ein anderer Lösungsweg.

Die Funktion lautet ja $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ und wenn ich quadriere erhalte ich folgendes, $\begin{eqnarray*} y^2=1-x^2 \end{eqnarray*}$ etwas umgestellt, $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$

Das ist ja ein Kreis mit dem Radius $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Demnach dachte ich mir ich kann hier auch mit einem Doppelintegral an's Werk.

$\begin{eqnarray*} \int\int_0^1 rdrd\theta \end{eqnarray*}$

Nun frage ich mich allerdings, was mache ich mit der $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ? Irgendwie muss ich die ja zu einem Winkel umrechnen? verwirrt

Bzw. darf man das überhaupt so machen?

06.11.2012, 20:19

original

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RE: Integral berechnen

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Hi Leute,

ich habe folgendes Integral: $\begin{eqnarray*} \int_0^2\sqrt{1-x^2}dx \end{eqnarray*}$

Nun frage ich mich allerdings, was mache ich mit der $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ?

Irgendwie muss ich die ja zu einem Winkel umrechnen? geschockt

->
vielleicht einfach mal genauer überlegen: für welche x ist der Integrand $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$
definiert ? smile

06.11.2012, 20:45

Cheftheoretiker

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RE: Integral berechnen
Für $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist der Ausdruck definiert da sonst die Wurzel kleiner Null wird.

Wo willst du denn drauf hinaus?

Edit: Ist der Winkel dann von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

07.11.2012, 00:38

original

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RE: Integral berechnen
$\begin{eqnarray*} \int_0^2\sqrt{1-x^2}dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Cheftheoretiker

Für $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist der Ausdruck definiert Freude

... da sonst die Wurzel kleiner Null wird. unglücklich

Wo willst du denn drauf hinaus? geschockt

.
1.

-> nicht die Wurzel wird kleiner als Null, sondern ..?!

2. geschockt

-> ist das dein Ernst, dass du das nicht siehst?
bedenke: dein Integrationsintervall ... bis zu x=2 ?!
na ja, ich wollte dich zum Mitzudenken animieren..

3. "Ist der Winkel dann von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ?" -> VERGISS ES

07.11.2012, 09:49

Cheftheoretiker

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RE: Integral berechnen

Zitat:

1. unglücklich -> nicht die Wurzel wird kleiner als Null, sondern ..?!

Was eben unter der Wurzel steht? verwirrt

Zitat:

2. geschockt -> ist das dein Ernst, dass du das nicht siehst? bedenke: dein Integrationsintervall ... bis zu x=2 ?! na ja, ich wollte dich zum Mitzudenken animieren..

Was nicht sehe? verwirrt

Zitat:

3. "Ist der Winkel dann von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ?" -> VERGISS ES

Ich habe mir einen Kreis aufgemalt und dachte das ich von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ gehen muss da es ja genau $\begin{eqnarray*} 180° \end{eqnarray*}$ sind... Also bei dem Einheitskreis wieder die x-Achse schneidet genau wie bei $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .

07.11.2012, 10:46

Mystic

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RE: Integral berechnen
@Cheftheoretiker

Nur eine kurze Zwischenfrage und bin dann schon wieder weg:

Was ist denn deiner Meinung nach der Wert der Funktion $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ ?

07.11.2012, 10:49

Cheftheoretiker

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RE: Integral berechnen
Hi Mystic,

$\begin{eqnarray*} f(2)= \sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-2^2}=\sqrt{1-4}=\sqrt{-3} \end{eqnarray*}$ Was nicht definiert ist. smile

07.11.2012, 10:52

Mystic

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RE: Integral berechnen
Heißt das, deine Denkblockade hat sich damit gelöst? Big Laugh

07.11.2012, 11:02

Cheftheoretiker

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RE: Integral berechnen
Okay, dort wo es nicht definiert ist, kann auch nichts berechnet werden, klingt logisch. Big Laugh

Ich habe es aber auch mal bei Wolframalpha eingegeben und die Seite spuckt mir einen Wert aus... verwirrt

Ich habe mir dann gedacht ich wähle $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi}\int_0^1 rdrd\theta \end{eqnarray*}$ Und das Integral spuckt mir genau $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ - Allerdings ohne die imaginäre Zahl. D.h. ich müsste anschließend noch durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ dividieren um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen... verwirrt

Wie kommt es denn das Wolframalpha mir dafür einen Wert ausgibt obwohl das Integral garnicht definiert ist? verwirrt

###################

Wenn das nicht klappt, dann nehme ich Grenzen die auch im Definitionsbereich liegen da es mir ja um die Umwandlung geht. smile

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\sqrt{1-x^2}dx \end{eqnarray*}$

Der Radius bleibt ja der selbe. Nun muss ich noch schauen wie ich die Winkel angebe... verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int\int_0^1 rdrd\theta \end{eqnarray*}$

07.11.2012, 11:17

Mystic

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RE: Integral berechnen
Ok, dann doch noch ein Tipp: Dein Integral beschreibt doch die Fläche jenes Viertels vom Einheitskreis, das im 1.Quadranten liegt... Der Winkel geht somit von... bis ... ?

07.11.2012, 11:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Ich habe es aber auch mal bei Wolframalpha eingegeben und die Seite spuckt mir einen Wert aus... verwirrt

Wolframalpha rechnet ohne Wimpernzucken auch im Komplexen weiter, wahrscheinlich dann mit dem Hauptwert der Wurzel. Also besser Obacht statt gedankenlosen Einsatz von CAS. Augenzwinkern

07.11.2012, 13:30

Mystic

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Zitat:

Original von HAL 9000
Also besser Obacht statt gedankenlosen Einsatz von CAS. Augenzwinkern

Ja, spätestens wenn das bei der Berechnung einer Fläche eine nichtreelle komplexe Zahl herauskommt, sollte man eigentlich stutzig werden...

07.11.2012, 15:18

Cheftheoretiker

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RE: Integral berechnen
Schonmal vielen Dank für die Erklärungen. smile

Nachdem ich bei Wolframalpha gesehen habe das ein Wert ausgegeben wird, habe ich mir ehrlich gesagt auch keine Gedanken zu dem Definitionsbereich gemacht. Ups

Zitat:

Original von Mystic
Ok, dann doch noch ein Tipp: Dein Integral beschreibt doch die Fläche jenes Viertels vom Einheitskreis, das im 1.Quadranten liegt... Der Winkel geht somit von... bis ... ?

Wenn das der erste Quadrant ist, dann ist es von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Was ich aber komisch finde, wenn ich mir die Funktion plotte, erhalte ich doch nicht nur eine Kurve im ersten Quadranten, sondern auch im zweiten? verwirrt

Wieso dann nur bis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und nicht bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

[attach]26559[/attach]

07.11.2012, 16:10

Mystic

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RE: Integral berechnen
Das kommt daher, weil du die Funktion über den ganzen Definitionsbereich, also dann [-1,1] plottest, der Integrationsbereich aber nur von 0 bis 1 geht...

07.11.2012, 18:46

Cheftheoretiker

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RE: Integral berechnen
Natürlich! Hammer

Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden. smile

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