stochl unabh. Ereignisse

06.11.2012, 19:58

Theend9219

stochl unabh. Ereignisse

Hallooo,
folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\zeta, P) \end{eqnarray*}$ ein W-Raum
(a) Seien $\begin{eqnarray*} A_1, ..., A_6 \in \zeta \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängige Ereignisse mit
$\begin{eqnarray*} P(A_1) = P(A_2) = 1/4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A_3)=P(A_4) = 1/3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A_5)=P(A_6)= 1/2 \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie: $\begin{eqnarray*} P ((A_1 \cup A_2 \cup A_5)\cap (A_3 \cup A_4 \cup A_6)) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das so schön ausrechne erhalte ich
$\begin{eqnarray*} P ({1/4} \cup {1/4} \cup {1/2}) \cap ({1/3} \cup {1/3} \cup {1/2}) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} P ({1/4} \cup {1/2}) \cap ({1/3} \cup {1/2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =P(1/2) \end{eqnarray*}$ geht das so?

06.11.2012, 20:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Theend9219
Wenn ich das so schön ausrechne erhalte ich
$\begin{eqnarray*} P ({1/4} \cup {1/4} \cup {1/2}) \cap ({1/3} \cup {1/3} \cup {1/2}) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} P ({1/4} \cup {1/2}) \cap ({1/3} \cup {1/2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =P(1/2) \end{eqnarray*}$ geht das so?

Das ist blanker Unsinn, hier die Zahlenwerte mit den Ereignissen zu vermauscheln. unglücklich

Nein, zunächst mal ist festzuhalten, dass $\begin{eqnarray*} A_1 \cup A_2 \cup A_5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_3 \cup A_4 \cup A_6 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, da keines der sechs Grundereignisse in beiden Ereigniskombinationen zugleich vorkommt, es ist demnach

$\begin{eqnarray*} P((A_1 \cup A_2 \cup A_5)\cap (A_3 \cup A_4 \cup A_6)) = P(A_1 \cup A_2 \cup A_5) \cdot P(A_3 \cup A_4 \cup A_6) \end{eqnarray*}$ .

Weiterhin ist

$\begin{eqnarray*} P(A_1 \cup A_2 \cup A_5) = 1-P(A_1^c \cap A_2^c \cap A_5^c) = 1-P(A_1^c)P(A_2^c)P(A_5^c) = 1-(1-P(A_1))(1-P(A_2))(1-P(A_5)) \end{eqnarray*}$

und analog bei der anderen Dreiervereinigung.

06.11.2012, 20:36

Theend9219

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Dankeschön für deine Hilfe .. dann werde ich den analogen weg mal machen

11.11.2012, 14:58

Theend9219

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Also ist :

$\begin{eqnarray*} P (A_3 \cup A_4 \cup A_6) = 1-P( A_3^{c} \cap A_4^{c} \cap A_6^{c}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1-P(A_3)^{c} * P(A_4^{c})*P(A_6^{c}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1- (1-P(A_3))*(1-P(A_4))*(1-P(A_6)) \end{eqnarray*}$

Muss ich nun noch irgendetwas berechnen? weil ja in der Aufgabe direkte Warscheinlichkeiten vorgegeben sind . Nun müsste ich ja noch die beiden warscheinlichkeiten multiplizieren oder?
rechne ich dann einfach:

$\begin{eqnarray*} =[ 1- (1-P(A_3))*(1-P(A_4))*(1-P(A_6))] \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} [1- (1-P(A_1))*(1-P(A_2))*(1-P(A_5))] \end{eqnarray*}$

?

LG

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