Frage zu Integral mit kompaktem Träger (Königsberger)

06.11.2012, 20:40	xhamster	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Integral mit kompaktem Träger (Königsberger) Hi, ich habe eine Frage zu einer Stelle im Königsberger-Buch (Analysis I, Seite 310). Da steht: Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ eine Regelfunktion mit kompaktem Träger $\begin{eqnarray} [-a,a] \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} x \notin [-a,a] \Rightarrow f(x) = 0 \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty \! f(x) \, dx = \int_{-a}^a \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ . Auf einen Beweis oder irgendwelche Erläuterungen verzichtet der Autor. Anschaulich macht das ja alles auch Sinn, aber kann mir das trotzdem vllt einer genau begründen oder einen Beweis davon angeben?
06.11.2012, 21:01	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Integral mit kompaktem Träger (Königsberger) Naja, wenn $\begin{eqnarray} x \not\in [-a,a] \Rightarrow f(x) = 0 \end{eqnarray}$ . Das bedeutet ja, dass: $\begin{eqnarray} \int\limits_{\mathbb{R} \setminus [-a,a]} f(x) \ dx = 0 \end{eqnarray}$ . Also reicht es das Integral $\begin{eqnarray} \int\limits_{[-a,a]} f(x) \ dx \end{eqnarray}$ zu betrachten, da außerhalb von $\begin{eqnarray} [-a,a] \end{eqnarray}$ under $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ null ist. Gruß, Causal
07.11.2012, 00:09	xHamster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ich versuche schon die ganze Zeit eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ zu finden, die einen solchen Kompakten Träger hat und für die gilt $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-a}^a f(x) dx \end{eqnarray}$ . Kann jemand von euch vllt eine solche Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ angeben?
07.11.2012, 00:31	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
z.B. eine Treppenfunktion, mit $\begin{align} f(x) =0 , \forall x< -a \end{align}$ und $\begin{align} f(x) =0 , \forall x> a \end{align}$ Gruß Peter
07.11.2012, 00:38	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: Charakteristiche Funktion. Gruß, Causal
07.11.2012, 01:50	xHamster	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wärs mit $\begin{eqnarray} f(x) = 5 (-2 \leq x \leq 2) \end{eqnarray}$ , sonst $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ? Die müsste doch die oben genannten Eigenschaften besitzen?
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07.11.2012, 07:54	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte doch: $\begin{eqnarray} \chi (x) = \begin{cases} 1, & x \in [-a,a] \\<br /> 0 , & x \in \mathbb{R} \setminus [-a,a] <br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$
07.11.2012, 14:58	xHamster	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Dann noch kurz eine letzte Frage: Eine Stammfunktion davon ist $\begin{eqnarray} F(x) = \begin{cases} x & x \in [-a,a] \\ \text{const. } & x \in \mathbb{R} \setminus [-a,a]\end{cases} \end{eqnarray}$ richtig?
07.11.2012, 15:28	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
Getrennt betrachten. Einmal das Integral über $\begin{eqnarray} [-a,a] \end{eqnarray}$ bilden und einmal über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \setminus [-a,a] \end{eqnarray}$ . Gruß, Causal

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