Uneigentliches Integral |
07.02.2007, 23:56 | Ein Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Uneigentliches Integral |
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08.02.2007, 00:21 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sieht nach Residuensatz aus. Hast du das schon versucht? |
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08.02.2007, 09:05 | Ein Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vom Residuensatz hab ich bisher nur gehört. Der kommt erst in der Funktionentheorie dran. Das angegeben Integral ist aber aus einer Infini-Übung. |
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08.02.2007, 14:59 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Wolfram-Integrator liefert jedenfalls ein ziemliches Ungetüm als Stammfunktion. Vielleicht kann man es ja rein reell umschreiben? Auch wenn es dir nicht viel hilft - mit dem Residuensatz geht es so: Man integriert für den Hauptzweig des Logarithmus über den positiv orientierten Rand des oberen Halbkreises um vom Radius und führt den Grenzübergang durch. Nach Übergang zum Realteil erhält man das gesuchte Integral: Ich will nicht ausschließen, daß man das Integral auch über eine "vernünftige" Stammfunktion bekommen kann. So ganz einfach scheint es aber nicht zu sein. Manchmal sind solche Übungsaufgaben auch derart gestellt, daß man mittels Integrationstechniken das gegebene Integral in eines transformieren kann, das in der Vorlesung behandelt wurde. Vielleicht blätterst du dein Skript noch einmal aufmerksam durch ... |
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08.02.2007, 16:35 | Hunsrück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Uneigentliches Integral Die Konvergenzdiskussion für die einzelnen Integrale überlasse ich Dir aber die grundlegenden Rechenschritte fasse ich mal zusammen. Es gilt (1): und (2): Mit der Substitution siehst Du: Aus Symmetriegründen folgt daraus mit den Feststellungen unter (1): Und mit (2) folgt Die Behauptungen (1) und (2) lassen sich durch geeignete Substitutionen beweisen. |
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08.02.2007, 17:07 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht also auch ohne komplexe Zahlen. |
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08.02.2007, 21:22 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Uneigentliches Integral
Eine raffinierte Lösung. Sie basiert irgendwie darauf, daß dieses Integral über eine ungerade Funktion verschwindet. Interessant wäre jetzt noch die Frage, ob man diese Rechnung mit bestimmten Integralen in eine Rechnung mit unbestimmten Integralen überführen kann. Gibt es also eine elementare Stammfunktion? |
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08.02.2007, 21:25 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Uneigentliches Integral Der Wolfram-Integrator meint: Nein. Da kommt in der Stammfunktion irgend sowas mit PolyLog usw. vor. |
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08.02.2007, 21:35 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Uneigentliches Integral
Den müßten wir einmal auf die Probe stellen. Kennt jemand eine Funktion, von der ihm eine (möglichst einfache) elementare Stammfunktion bekannt ist, die Wolfram nicht knacken kann? |
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08.02.2007, 21:44 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da würde ich unterscheiden: Wenn er sie gar nicht knacken kann, dann besteht diese Chance durchaus. Hier aber konnte er es knacken, nur eben mit "nichtelementaren" Funktionen. Dass die sich jetzt noch irgendwie zu elementaren vereinfachen, halte ich auch nicht für völlig ausgeschlossen, aber doch schon mit deutlich geringerer Wahrscheinlichkeit. |
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08.02.2007, 21:57 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Haha! Ich hab ihn! Dabei habe ich ihn "nur" mit der Ableitung von gefüttert. |
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08.02.2007, 21:59 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja, das fällt unter Fall 1:
Jetzt noch was für Fall 2, das wird bestimmt schwerer zu finden sein. |
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08.02.2007, 22:09 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Leopold Sicher, dass du dich nicht vertippt hast? Meine misstrauische Nachkontrolle hat das ergeben: Rehabilitierung für Wolfram, würde ich sagen. |
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08.02.2007, 22:41 | Ein Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Uneigentliches Integral @Hunsrück: Lecker bedankt! |
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08.02.2007, 22:54 | Ein Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Uneigentliches Integral
Verrät mir auch noch jemand wie die 'geeigneten Substitutionen' aussehen? Dann krieg ich den Rest hoffentlich selbst hin. |
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08.02.2007, 22:57 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei (1): bzw. Bei (2): |
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08.02.2007, 23:01 | Ein Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ging aber fix! Dann mach ich mich mal an die Arbeit... |
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09.02.2007, 14:55 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt klappt es bei mir auch. Da habe ich mich wohl doch vertippt. Bitte vielmals um Entschuldigung, Herr Wolfram. P.S. Wie bringst du das Bild in den Fließtext. Geht das immer noch über einen Müll-Thread oder kann man das inzwischen auch anders machen? |
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09.02.2007, 16:14 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist leider derselbe alte schmutzige Trick. |
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09.02.2007, 19:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier geht es weiter mit dem Thema "Bilder hochladen". |
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10.02.2007, 01:23 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Leopold, so einen Integrator magst heute noch in Schwierigkeiten bringen, aber nicht übermorgen. Das läuft wie im Schach. Ein anderes Ding ist und wird es wohl auch bleiben, dass einem vorgestelle Lösungen nicht immer gefallen und dass weiterhin mitgedacht werden muss, sollen sie nicht fehlgedeutet werden. |
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10.02.2007, 19:01 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wußt' ich's doch, daß ich das schon einmal gesehen hatte! |
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10.02.2007, 19:06 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir war auch so, aber leider funktioniert der hiesige Suchdialog eher schlecht, wenn man nach Termen wie ln(x^2+1) o.ä. sucht. Liefert keine oder viel zu viele Treffer... |
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