Fourierreihe von |sin(x)|

07.11.2012, 12:09

Bachi12

Fourierreihe von |sin(x)|

Hallo Leute!

Ich muss ich wieder einmal an euch wenden. smile

Es geht, wie der Titel schon sagt, um die Entwicklung einer Fourierreihe von $\begin{eqnarray*} |\sin(x)| \end{eqnarray*}$

Das Prinzip, dass ich zuerst die Fourierkoeffizienten berechen muss und diese dann in die (Formel der) Reihe einsetzen muss, ist mir ziemlich klar. Hauptsächlich hakt es, glaube ich, am Betrag bzw. dessen Integration.

Ich habe mich nun doch schon über einige Stunden mit dem Beispiel auseinandergesetzt und ziemlich elementar war die (wieder in Erinnerung gerufene) Erkenntnis, dass der Betrag im Endeffekt nur die negativen Werte des Sinus nach oben klappt. Also ist der Sinus eine ungerade Funktion, der Betrag desselbigen aber eine gerade.

Nun habe ich also folgendes für den ersten Fourierkoeffizienten (der zweite Koeffizient ist ja 0):
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \! |\sin(x)| \cos(\frac{2\pi nx}{2\pi} ) \, dx \end{eqnarray*}$

Also steht da eine Multiplikation zweier gerader Funktionen was wieder eine gerade Funktion ergibt.
Jetzt war meine Überlegung, dass ich nun nur über den halben Integrationsbereich integriere und dafür das Integral doppelt nehme, was ja prinzipiell eine übliche Vorgangsweise ist. Und meine "Hoffnung" dabei ist, dass ich nun die Betragsstriche einfach weglassen kann, da der Sinus zw. 0 und Pi sowieso positiv ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}2\int_{0}^{\pi} \! \sin(x) \cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

Dies ist im Endeffekt meine konkrete Frage: Kann ich hier dann tatsächlich die Betragsstriche weglassen?

Ich habe das Integral dann gelöst und komme schlussendlich für meinen ersten Fourierkoeffizienten auf etwas der folgenden Art:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n+1}2 }{\pi(n^2-1)} \end{eqnarray*}$

Im "optischen" Vergleich mit dem Ergebnis, dass Mathematica für den Koeffizienten ausspucht, schaut das zwar ähnlich, aber leider nicht gleich aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+(-1)^n}{\pi - n^2 \pi} \end{eqnarray*}$

Woran happerts? Am Betrag? Irgendeinen Fehler bei der Integration bzw. sonstige Rechenfehler? Falls der Fehler hier noch nicht auftaucht, sondern irgendwo bei der Integration aufgetreten sein muss, tippe ich das nachher auch noch hier herein.

Ich hoffe ihr könnt mir einen Punkt liefern, wo ich ansetzen kann.

Ich danke im Vorhinein für die Hilfe!

LG Markus

07.11.2012, 12:25

klarsoweit

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RE: Fourierreihe von |sin(x)|
Du solltest dir erstmal über die Periodenlänge Gedanken machen und die ist offensichtlich nicht 2*pi.

07.11.2012, 13:33

Bachi12

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Danke für deine Antwort!

Das war mir prinzipiell klar, dass die Periodenlänge von $\begin{eqnarray*} |sin(x)| \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist, aber ich vermute mal, dass du mir damit sagen willst, dass ich ursprünglich nicht von $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ hätte integrieren müssen, sondern nur von $\begin{eqnarray*} -\pi/2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ und somit eigentlich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}2\int_{0}^{\pi/2} \! \sin(x) \cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

Liege ich damit richtig?

Ich hatte deshalb $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ verwendet, da die Angabe lautet

Zitat:

Berechne die FR von blabla bezüglich der trigonometrischen Funktionen für $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$

*rechnerechnereche* Big Laugh

Ja, schaut gut aus Big Laugh

Also, mit den geänderten Grenzen komme ich schlussendlich tatsächlich auf das selbe Ergebnis wie Mathematica, also im Zähler alternierend zwischen 0 und 2! D.h. ich muss mir nochmal anschauen, wie ich die Grenzen bei den Fourierkoeffizienten setzen muss...

Ok, jetzt habe ich meinen ersten Koeffizienten und der zweite ist ja Null.

D.h. meine Fourierreihe lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1+(-1)^n}{\pi - n^2 \pi} \cos(nx) \end{eqnarray*}$

Hmm, leider will mir Mathematica da nichts plotten (bis n=10). Kann man diese Summe noch vereinfachen?

Nachtrag:

Verdammt, jetzt ist mir klar, weshalb es Mathematica nicht plotten will. Denn bei n=1 ist der Zähler der Division 0 unglücklich