Stetigkeit von Funktionen

07.11.2012, 15:10

Der Ehrgeizige

Stetigkeit von Funktionen

Meine Frage:
Die Funktion f: [0,1] $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei mit f(0)=f(1). Beweisen Sie, dass es ein c $\begin{eqnarray*} \in [0;\frac{1}{2} ] \end{eqnarray*}$ , sodass f(c)= $\begin{eqnarray*} (c+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$
Meine Ideen:
Die Def von Stetigkeit ist klar, nun bin ich aber am gruebeln, wie ich anfangen soll.

07.11.2012, 15:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Die Funktion f: [0,1] $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei mit f(0)=f(1). Beweisen Sie, dass es ein c $\begin{eqnarray*} \in [0;\frac{1}{2} ] \end{eqnarray*}$ , sodass f(c)= $\begin{eqnarray*} (c+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Die Aussage ist falsch, wie man am Beispiel der konstanten Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2 \end{eqnarray*}$ sieht.

07.11.2012, 18:34

Der Ehrgeizige

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Hab mich verschrieben es sollte:

f(c)=f $\begin{eqnarray*} (c+\frac{1}{2} ) \end{eqnarray*}$ so heißen hab das f vergessen

08.11.2012, 01:52

Der Ehrgeizige

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und wieso soll das falsch sein?

08.11.2012, 01:59

Der Ehrgeizige

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Im Grunde genommen muss ich doch Stetigkeit zeigen? Obwohl nein Stetig wird angenommen also wird diese vorausgesetzt...

> Beweisen Sie, dass c Element[0, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ] gibt, so dass f(c)=f $\begin{eqnarray*} (c+\frac{1}{2} ) \end{eqnarray*}$

mit f(0)=f $\begin{eqnarray*} (0+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ also ist f(0)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und f( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ )=f(1)

Verstehe auch nicht ehrlich gesagt nicht den Zusammenhang des ersten Satzes und dem zweiten der Aufgabenstellung. Soll wohl eher ein Beispiel sein und erläutern was gemeint ist hm.

08.11.2012, 09:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
und wieso soll das falsch sein?

Es ist offensichtlich ein Gegenbeispiel für dein ursprüngliches $\begin{eqnarray*} f(c) = \left( c + \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$ . Es ist dagegen kein Gegenbeispiel für das nunmehr veränderte $\begin{eqnarray*} f(c) = f\left( c + \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Und weil wir gerade bei schludrigen Aufgabenformulierungen sind: Anscheinend hast du auch vergessen in der Aufgabenstellung die Voraussetzung zu erwähnen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig sein soll. Da gehört das nämlich auch hin, nicht nur versteckt zwischen den Zeilen deiner Lösungsbetrachtungen - ansonsten gibt es nämlich gleich das nächste Gegenbeispiel. Augenzwinkern

08.11.2012, 12:24

Un-aachen

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Kann man das nicht mit Hilfe des zwischenwertsatzes machen???? So das man eine Funktion g aufstellt

08.11.2012, 13:09

RavenOnJ

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@un-aachen
Hab das mal überflogen, sieht gut aus - bis auf kleinere Fehler. Es muss natürlich Stetigkeit von f gefordert sein, wie HAL schon schrieb.
"da $\begin{align*} g(0)\neq 0 \end{align*}$ ..." kannst du natürlich nicht schreiben, da das an der Stelle aus nichts folgt. Es geht höchstens "wenn ...". Außerdem dann nochmal die richtige Schlussfolgerung
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\exists c\in[0,\frac{1}{2}]: f(c)=f(c+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Der allerletzte Schritt ist unnötig, da schon g(0)=0 das gefragte c = 0 liefert.

Gruß
Peter

08.11.2012, 13:40

Un-aachen

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Okay danke super

Bei der b dazu fehlt mir jeglicher ansSatz

Zeige das es im Intervall [5/4, 3/2] eine reelle Zahl a gibt mit a^2=2.

Danke schmal für jede Hilfe

08.11.2012, 13:53

RavenOnJ

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wieso machst du nicht deinen eigenen Thread auf? Oder arbeitet ihr zusammen?

Gruß
Peter

08.11.2012, 14:01

Un-aachen

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Kenne ihn nicht, keine Ahnung verwirrt