Stokes'scher Integralsatz

07.11.2012, 15:43	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Stokes'scher Integralsatz Meine Frage: Hallo, Ich bin mir bei meinem Lösungsweg nicht ganz sicher. Kann vielleicht jemand drüber schauen, mich bestätigen und mich eventell korrigieren ? Es geht um folgende Aufgabe : Berechnen sie das Integral $\begin{eqnarray} \int_\Phi^{} \! F \, dX \end{eqnarray}$ für den Kreis $\begin{eqnarray} \Phi := \left\{ (x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3 : x_1 = 1, x^2_2 + x^2_3 = 1\right\} <br /> F : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3<br /> F(x_1,x_2,x_3) = \begin{pmatrix} x_1x_2 \\ e^{x_2}sin(x_2) \\ x_2+x_3x^3_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Ebene $\begin{eqnarray} M :={1} \times \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist ein Flächenstück mit Parametrisierung $\begin{eqnarray} \Theta : \mathbb R^2 \to M, \Theta(v,w):= \begin{pmatrix} 1 \\ v \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weiter ist $\begin{eqnarray} \Phi = \Theta(\partial K) \end{eqnarray}$ für die Einheintskreisscheibe $\begin{eqnarray} K:=\left\{(v,w) \in \mathbb R^2 : v^2 + w^2 \leq 1\right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe mal das Folgende versucht : $\begin{eqnarray} \Theta_v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \Theta_w = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> <br /> \Theta_v \times \Theta_w = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> <br /> rot(F(x_1,x_2,x_3)) = \begin{pmatrix} 1 \\ -3x_3 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> <br /> x_2 = rcos(\phi)<br /> x_3 = rsin(\phi)<br /> r \in [0,1]<br /> \phi \in [0,2\pi]<br /> <br /> <br /> \int_0^1 \! \int_0^{2\pi} \! \begin{pmatrix} 1 \\ -3rsin(\phi) \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}r \, d\phi \, dr = \pi<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig ? Hab jetzt nicht jeden Zwischenschritt hingeschrieben, dene es ist aber trotzdem gut nachvollziehbar, was ich getan habe. lg alex

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »