Faltung (Stetigkeit, Wohldefiniertheit)

07.11.2012, 15:46	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung (Stetigkeit, Wohldefiniertheit) Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} f,g\in L_1(\mathbb{R^n}) \end{eqnarray}$ . Dann ist die Faltung definiert als $\begin{eqnarray} \colon L_1(\mathbb{R}^n)\times L_1(\mathbb{R}^n)\to L_1(\mathbb{R}^n), (f,g)\mapsto fg=\int_{\mathbb{R}^n}f(y-x)g(x)\, dx \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass * wohldefiniert und stetig in beiden Einträgen ist (Bilinearität kann ohne Beweis verwendet werden). Zeige zudem, dass $\begin{eqnarray} fg=gf \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Was muss ich für die Wohldefiniertheit zeigen? ________________________________________________________________________ Sehe ich das richtig, dass ich zwei Dinge für die Wohldefiniertheit zeigen muss? 1.) $\begin{eqnarray} fg \end{eqnarray}$ ist messbar. 2.) $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^n}\lvert (fg)(x)\rvert\, dx<\infty \end{eqnarray}$ ? ________________________________________________________________________ edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
07.11.2012, 20:44	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, genau das musst du zeigen.
07.11.2012, 20:50	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wills mal versuchen! Auch, wenn ich nicht wirklich weiß, wie. Zur Messbarkeit: Sind die Funktionen $\begin{eqnarray} (x,y)\mapsto f(y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x,y)\mapsto g(x-y) \end{eqnarray}$ messbar auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ? Ich würde sagen: Ja. Denn die Produkt-sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ wird ja gerade erzeugt von den Urbildern $\begin{eqnarray} f^{-1}(B), B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ , oder? Und f ist ja $\begin{eqnarray} \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)-\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ -messbar. Ebenso für g. Hm. ---Die Begründung ist noch nicht so toll, glaube ich. Jedenfalls wäre dann auch das Produkt $\begin{eqnarray} F(x,y):=f(y)g(x-y) \end{eqnarray}$ , also die Faltung, meßbar. ...... Setze $\begin{eqnarray} F(x,y):=f(y)g(x-y) \end{eqnarray}$ . Dass die Faltung nun integrierbar ist, folgt mit Tonelli, würde ich sagen, weil $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^n}\lvert (fg)(x)\rvert\, dx\leq\int_{\mathbb{R}^n}\left(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert F(x,y)\rvert\, dx\right)\, dy=\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(y)\rvert\left(\int_{\mathbb{R}^n}\lvert g(x-y)\rvert\, dx\right)\, dy \end{eqnarray}$ Jetzt kann man die Translationsinvarianz des Lebesguemaßes verwenden, oder? $\begin{eqnarray} =\int_{\mathbb{R}^n}\lvert f(y)\rvert\int_{\mathbb{R}^n}\lvert g(x)\rvert\, dx\, dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lVert f\rVert_1\cdot\lVert g\rVert_1<\infty \end{eqnarray*}$ , also folgt mit Tonelli die Integrierbarkeit der Faltung (meine ich).
08.11.2012, 09:56	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa, ich denke das ist soweit okay... Aber Achtung: Der Ausdruck $\begin{eqnarray} F(x,y)=f(y)g(x-y) \end{eqnarray}$ ist NICHT die Faltung! Dementsprechend ist dein Argument wegen Messbarkeit hinfällig. Dass tatsächlich $\begin{eqnarray} fg\in L^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ , könnte man leicht folgern, wenn man weiß, dass $\begin{eqnarray} L^1(\mathbb{R}) = \overline{\mathcal{C}_c(\mathbb{R})}^{\\|\cdot\\|_1} \end{eqnarray*}$ . Hattet ihr das in der Vorlesung? Falls ja, dann kannst die Aufgabe ungestört auf stetige Funktionen mit kompaktem Träger beschränken, und die "allgemeine" Wohldefiniertheit folgt dann via stetiger Fortsetzung direkt. Wenn nicht, so muss man jedoch wirklich mit irgendeinem Analysis 3 Satz ran, um Messbarkeit zu begründen...
08.11.2012, 10:33	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, in meiner Mitschrift steht Folgendes (vllt. ist das ja das, was Du meinst): $\begin{eqnarray} C_{c}^{\infty}:=\left\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n):\mbox{ supp}(f)\mbox{ kompakt}\right\} \end{eqnarray}$ dicht in $\begin{eqnarray} L_p(\mathbb{R}^n), 1\leq p<\infty \end{eqnarray}$ und dicht in $\begin{eqnarray} (C_0(\mathbb{R}^n),\Vert\cdot\rVert_{\infty}) \end{eqnarray}$ Falls das das ist, was Du meinst, so ist mir noch nicht klar, wie daraus jetzt die Messbarkeit der Faltung folgt.
08.11.2012, 19:05	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das reicht auch. Die Messbarkeit folgt nicht trivial, aber du musst nur zeigen, dass die Faltung von $\begin{eqnarray} \mathcal{C}_c^\infty \end{eqnarray}$ -Funktionen wieder $\begin{eqnarray} \mathcal{C}_c^\infty \end{eqnarray}$ ist. Aus der Ungleichung, die du bereits gezeigt hast, folgt insbesondere Stetigkeit. Sind nun $\begin{eqnarray} f,g\in L^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ beliebig, so existieren Folgen $\begin{eqnarray} f_n,g_n\in\mathcal{C}_c^\infty(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_n\to f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_n\to g \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} fg = \lim_{n\to\infty} f_ng_n \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \\|\cdot\\|_1 \end{eqnarray}$ -Grenzwert von $\begin{eqnarray} \mathcal{C}_c^\infty \end{eqnarray}$ Funktionen, also insbesondere in $\begin{eqnarray} L^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ .
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