Prämaß Beweis

07.11.2012, 15:15	LelieBelie	Auf diesen Beitrag antworten »
Prämaß Beweis Hallo! Man hat eine Folge von Prämaßen $\begin{eqnarray} \gamma_{n} \end{eqnarray}$ auf einer Algebra A die isoton ist, d.h. $\begin{eqnarray} \gamma_{n}(A)\leq \gamma_{n+1}(A) \forall A \forall n \end{eqnarray}$ Man soll jetzt zeigen, dass durch $\begin{eqnarray} \gamma(A)= sup_{n\in \mathbb N } \gamma _{n} \end{eqnarray}$ ein Prämaß auf der Algebra definiert wird. dazu müssen wir zeigen, dass $\begin{eqnarray} \gamma (\emptyset)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(A\cup B)=\gamma(A)+\gamma(B) \end{eqnarray}$ für disjunkte A,B , was klar ist. Jetzt muss man noch für disjunkte $\begin{eqnarray} A_{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \bigcup _{n\in \mathbb N }A_{n}\in A \end{eqnarray}$ zeigen, dass $\begin{eqnarray} \gamma(\bigcup_{m\in \mathbb N } A_{m})=\sum\limits_{m\in \mathbb N} \gamma(A_{n}) \end{eqnarray}$ . Dazu habe ich umgeformt: $\begin{eqnarray} sup_{n \in \mathbb N } \gamma_{n}(\bigcup _{m \in \mathbb N } A_{m})=sup_{n \in \mathbb N }\sum\limits_{m\in \mathbb N } \gamma_{n}(A_{m}) \end{eqnarray}$ . Wegen der Monotonie gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{m\in \mathbb N } \gamma_{n}(A_{m}) \leq \sum\limits_{m\in \mathbb N } sup_{n\in \mathbb N }\gamma_{n}(A_{m}) = \sum\limits_{m\in \mathbb N }\gamma(A_{m}) \end{eqnarray}$ , d.h. ich hätte schonmal die Richtung "<=" gezeigt? Nur weiter (d.h. die Richtung ">=") komme ich nun nicht. Ist vielleicht auch der falsche Weg auf diese Art? Wäre nett wenn jemand was dazu sagen könnte

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