Lösungsmenge von Betragsungleichungen

07.11.2012, 16:38

Rosa_Plüschritter94

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Lösungsmenge von Betragsungleichungen

Hallo

smile

Ich habe da mal eine Frage zu Betragsungleichungen. Und zwar weiß ich, wie ich zu den ganzen Einschränkungen von x komme. Das Problem liegt darin, dass ich nicht weiß, was nun auch für die Lösungsmenge von Bedeutung ist und wie man diese aufschreibt.

Für folgende Gleichung |x-1|+|2-x|<=3x+1 habe ich folgende Angaben für x herausbekommen, indem ich eine vierfache Fallunterscheidung durchgeführt habe:

x>=1
x<=2
x>=0
x>=1
x>2
x>=-4
x<1
x<=2
x>=2/5
x<1
x>2
x>=-2/3

Könnte mir da jemand helfen, wie ich jetzt weiß, was für die Lösungsmenge gilt und wie man das Ganze dann aufschreibt.

Vielen Dank schon mal!

PS: Ah Mist, falsches Forum. Bitte einfach löschen, tut mir leid :-/

07.11.2012, 17:28

Iorek

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Wie kommst du auf diese Unmengen an Fallunterscheidungen? geschockt

geschockt

Wir machen eine (eigene) Fallunterscheidungen für die beiden Betragsausdrücke:

$\begin{eqnarray*} |x-1|=\begin{cases} x-1, & x-1\geq 0 \\ -(x-1), & x-1<0\end{cases} = \begin{cases} x-1, & x\geq 1 \\ -x+1, & x<1\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |2-x|=\begin{cases} 2-x, & 2-x\geq 0\\-(2-x), & 2-x<0 \end{cases} = \begin{cases} 2-x, & 2\geq x \\ -2+x, & 2<x\end{cases} \end{eqnarray*}$

Wo kommen bei dir die -4, 2/5, 0 oder auch -2/3 her?

Um die Ungleichung nun zu lösen, "springst" du von Fall zu Fall. Der erste Sprung passiert bei 1, d.h. der erste Fall ist einfach $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ . Wenn wir uns dann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angucken, die größer als 1 sind, kommt der nächste Sprung bei 2, also ist der zweite Fall $\begin{eqnarray*} 1\leq x < 2 \end{eqnarray*}$ . So "springst" du dann immer weiter, bis du alles abgearbeitet hast. Für die einzelnen Fälle kannst du dann jeweils die Beträge auflösen und die entstehende Ungleichung lösen.

07.11.2012, 17:46

Rosa_Plüschritter94

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Aber ich habe doch im Prinzip 4 verschiedene Fälle oder?
Fall 1: Beide Teile sind >=0
Fall 2: Erster teil >=0 und Zweiter Teil <0
Fall 3: Erster Teil <0 und zweiter Teil >=0
Fall 4: Beide Teile <0

Soweit richtig? Und dann muss ich es für die vier Fälle so machen, wie du es bereits für einen getan hast?

07.11.2012, 17:53

Iorek

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Nein, das ist so nicht richtig. Wie soll denn z.B. dein dritter Fall aussehen? Dafür müsste $\begin{eqnarray*} x< 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$ sein, das ist aber nicht möglich.

07.11.2012, 18:07

Rosa_Plüschritter94

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Ja, dass das nicht möglich ist, ist mir klar. Aber muss ich nicht Fall für Fall untersuchen und wenn es nicht funktioniert, so wie beim genannten Fall, dann entfällt dieser?
Ansonsten habe ich die Vorgehensweise noch nicht verstanden geschockt

geschockt

07.11.2012, 18:13

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
$\begin{eqnarray*} |x-1|=\begin{cases} x-1, & x-1\geq 0 \\ -(x-1), & x-1<0\end{cases} = \begin{cases} x-1, & x\geq 1 \\ -x+1, & x<1\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |2-x|=\begin{cases} 2-x, & 2-x\geq 0\\-(2-x), & 2-x<0 \end{cases} = \begin{cases} 2-x, & 2\geq x \\ -2+x, & 2<x\end{cases} \end{eqnarray*}$

Du machst für jeden Betrag einzeln die Fallunterscheidung. Das gibt dir die Stellen, wo der Betrag "umspringt", wo der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen also positiv oder negativ ist. Bei $\begin{eqnarray*} |x-1| \end{eqnarray*}$ ist das eben bei 1 der Fall, bei $\begin{eqnarray*} |2-x| \end{eqnarray*}$ bei 2. Diese Stellen nimmst du dir dann vor und machst nur damit jetzt deine Fallunterscheidung. Der erste Fall verläuft bis zur ersten dieser Stellen, in diesem Fall also bis zur 1: $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ . Der zweite Fall setzt dann dort an und verläuft bis zur zweiten Stelle: $\begin{eqnarray*} 1\leq x <2 \end{eqnarray*}$ . Der nächste Fall setzt wieder an dieser Stelle an und verläuft bis zur nächsten Stelle usw. Das machst du bis alle dieser Stellen abgearbeitet sind.

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07.11.2012, 18:26

Rosa_Plüschritter94

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Hmm...

Also ist der erste Fall x<1
Der zweite: 1<=x<=2
Der dritte: x>2

Und das wars? Irgendwie versteh ichs scheinbar immer noch nicht unglücklich

unglücklich

07.11.2012, 18:28

Iorek

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Ja, das sind die jeweiligen Fälle. Damit kannst du nun die Beträge auflösen und die drei entstehenden Ungleichungen lösen.

Fall 1: $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ ist, wie wird dann der erste Betrag aufgelöst, wie wird der zweite aufgelöst? Wie sieht die Ungleichung in diesem Fall also aus?

07.11.2012, 18:45

Rosa_Plüschritter94

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Jetzt steh ich auf dem Schlauch.

Wenn x<1 ist, dann ist klar, dass innerhalb der Betragstriche des ersten etwas negatives herauskommt. Der Betrag wäre aber wieder positiv.

Beim zweiten könnte das Innere des Betrages sowohl positiv, als auch negativ sein.

Aber wie man das auflöst weiß ich nicht. Das wüsste ich bloß,

x-1 wäre in dem fall ja auf jedenfall negativ. Das heißt man würde es in -x+1 auflösen. Beim zweiten Teil 2-x ist dann klar, dass es definitiv größer als 0, also positiv ist.

Damit ergibt sich:

-x+1+2-x<=3x+1
-2x+2<=3x
2<=5x
2/5<=x

???

07.11.2012, 18:51

Iorek

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Zitat:

Original von Rosa_Plüschritter94
Jetzt steh ich auf dem Schlauch.

Wenn x<1 ist, dann ist klar, dass innerhalb der Betragstriche des ersten etwas negatives herauskommt. Der Betrag wäre aber wieder positiv.

Beim zweiten könnte das Innere des Betrages sowohl positiv, als auch negativ sein.

Wie kommst du da drauf? Wenn $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch insbesondere auch $\begin{eqnarray*} x<2 \end{eqnarray*}$ , also kannst du auch den zweiten Betrag eindeutig auflösen (was du in deiner folgenden Rechnung ja auch richtig gemacht hast). Der erste Fall ist damit fast fertig, es fehlt jetzt nur noch die Lösungsmenge.

Du hast $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt, Umformen der Gleichung hat $\begin{eqnarray*} \frac 25\leq x \end{eqnarray*}$ ergeben, welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sind dann in der Lösungsmenge vorhanden?

07.11.2012, 18:56

Rosa_Plüschritter94

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Ah, sorry, das war lediglich ein Gedankengang, wo mir im Nachinein auch aufgefallen war, dass es Quatsch war. Daher war die gleichung auch richtig. ich hatte nur vergessen, das wieder zu löschen.

Wenn x<1 und x>=2/5 dann ist die Lösungsmenge 1>x>=2/5.

07.11.2012, 19:06

Iorek

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Und damit haben wir den ersten Teil der Lösungsmenge. Freude

Freude

Jetzt machen wir das noch für die anderen beiden Fälle und dann wars das schon fast. smile

smile

07.11.2012, 19:09

Rosa_Plüschritter94

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Ich habs jetzt fürs zweite gemacht und da habe ich dann 0<=x raus. Zusätzlich gilt ja die Bedingung 1<=x<=2.

Der Durchschnitt wäre doch dann jetzt 1<=x<=2 oder? Weil es unter beiden Bedingungen möglich ist?

07.11.2012, 19:20

Iorek

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Genau, die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} 1\leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$ wird durch $\begin{eqnarray*} 0\leq x \end{eqnarray*}$ nicht weiter eingeschränkt. Damit hast du den zweiten Teil der Lösungsmenge. Jetzt fehlt nur noch der dritte Fall.

07.11.2012, 19:32

Rosa_Plüschritter94

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Langsam beginne ich zu verstehen^^

Ergebnis für 3.Fall:
-4<=x
Außerdem gilt x>2

Daraus folgt: -4<=x>2

Und jetzt bilde ich aus den drei Teilergebnissen wieder den Durchschnitt?

Also wir haben:
1<=x<=2
2/5<=x<1
-4<=x>2

Also:
2/5<=x>2

???

07.11.2012, 19:34

Iorek

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Zitat:

Original von Rosa_Plüschritter94
Langsam beginne ich zu verstehen^^

Ergebnis für 3.Fall:
-4<=x
Außerdem gilt x>2

Daraus folgt: -4<=x>2

Hier musst du aufpassen, $\begin{eqnarray*} -4\leq x > 2 \end{eqnarray*}$ ist keine sehr sinnvolle Aussage. Es ist vielmehr $\begin{eqnarray*} -4\leq 2<x \end{eqnarray*}$ , also ist insgesamt $\begin{eqnarray*} 2<x \end{eqnarray*}$ .

Außerdem bildest du jetzt nicht den Durchschnitt sondern die Vereinigung aller Lösungsmengen.

07.11.2012, 19:46

Rosa_Plüschritter94

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Ah ok.

Ist es dann x>=2/5?

07.11.2012, 19:50

Iorek

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Wenn du das formal als Lösungsmenge aufschreibst, hab ich da nichts dran auszusetzen. smile

smile

07.11.2012, 19:52

Rosa_Plüschritter94

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Und wie geht das formal? Ist das das mit den eckigen Klammern?

07.11.2012, 19:55

Iorek

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Entweder als Intervall (da $\begin{eqnarray*} \frac 25 \end{eqnarray*}$ zur Lösungsmenge gehört eben mit der eckigen Klammer links) oder als beschreibende Menge: $\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{x\in\mathbb R~|~\frac 25\leq x\} \end{eqnarray*}$ .

07.11.2012, 19:59

Rosa_Plüschritter94

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Super, vielen, vielen Dank. Besonders für die Geduld Big Laugh

Big Laugh

Aber kannst du mir noch ein Stichwort nennen, wo ich finden kann, wie man das allgemein mit den eckigen Klammern schreibt? Wie nennt man diese Schreibweise?

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