Beweis Irrationalität

07.11.2012, 17:46

Endoflex

Beweis Irrationalität

Hallo,
unsere Aufgabe lautet:

Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n>0 die Summe $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ irrational ist.

Meine Ideen: Gegenbeweis

x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q, dann gibt es p,q $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N, q>0

p und q teilerfremd.

x = $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$

x² = $\begin{eqnarray*} \frac{p²}{q²} \end{eqnarray*}$ = n+2 $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ +n+1

aber jetzt weiß ich nicht weiter verwirrt

07.11.2012, 17:48

tmo

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Das ist doch schon die halbe Miete.

Wenn $\begin{eqnarray*} n + 2\sqrt{n(n+1)} + n+1 \end{eqnarray*}$ rational ist, dann auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ . Warum ist das ein Widerspruch?

07.11.2012, 17:58

Endoflex

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Da wir den Wurzelausdruck durch zwei geteilt haben ist dies ein Widerspruch zur Annahmen p und q teilerfremd? verwirrt

12.11.2012, 10:45

strategic

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Hallo, ich muss die Frage einfach noch mal stellen:

Zitat tmo:
Wenn $\begin{eqnarray*} n + 2\sqrt{n(n+1)} + n+1 \end{eqnarray*}$ rational ist, dann auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ . Warum ist das ein Widerspruch?

Ja, Warum?
Weil bei zwei natürlichen Zahlen n nie zwei Quadratzahlen aufeinanderfolgen?
Wie beweise ich das?

12.11.2012, 11:00

tmo

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Zitat:

Original von strategic
Ja, Warum?
Weil bei zwei natürlichen Zahlen n nie zwei Quadratzahlen aufeinanderfolgen?
Wie beweise ich das?

Beachte, dass z.b. $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 50 \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ist, obwohl beide Faktoren keine sind. Das alleine würde noch nicht reichen. Man müsste auch noch damit argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind.

Jedoch macht man es sich deutlich leichter, wenn man einfach die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} n^2 < n(n+1) < (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

anführt.

12.11.2012, 11:14

Mystic

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Dumme Frage: Was ist die nächste Quadratzahl, die auf $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ folgt?

12.11.2012, 12:31

strategic

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danke an euch.

@tmo, ich kann nicht folgen. bitte idiotengerecht erklären. 2*50 z.b. sind doch keine zwei aufeinanderfolgende zahlen...

Die Abschätzung wiederrum verstehe ich:
Die auf $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ folgende Quadratzahl kann ja nur $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ sein, was größer (um genau 1 größer) ist als $\begin{eqnarray*} n^2+n \end{eqnarray*}$ .
Aber ist das der Beweis?
Ich sage bei

$\begin{eqnarray*} n + 2\sqrt{n(n+1)} + n+1 \end{eqnarray*}$ sind die beiden n, die 2 und auch die 1 offentsichtlich rational.
Und der Wurzelausdruck wäre nur rational, wenn beide Faktoren Quadratzahlen sind, was jedoch nicht sein kann, weil s.o.

Fertig?

12.11.2012, 12:38

tmo

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Zitat:

Original von strategic
danke an euch.

@tmo, ich kann nicht folgen. bitte idiotengerecht erklären. 2*50 z.b. sind doch keine zwei aufeinanderfolgende zahlen...

Ich wollte dich damit nur dafür sensibilisieren, dass das Produkt zweier Nicht-Quadrate durchaus ein Quadrat sein kann.

Zitat:

Original von strategic
Die Abschätzung wiederrum verstehe ich:
Die auf $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ folgende Quadratzahl kann ja nur $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ sein, was größer (um genau 1 größer) ist als $\begin{eqnarray*} n^2+n \end{eqnarray*}$ .
Aber ist das der Beweis?

Ja.

Aber das ist sicher nicht um genau 1 einen größer. Es ist $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 - (n^2+n) = n+1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von strategic
Ich sage bei

$\begin{eqnarray*} n + 2\sqrt{n(n+1)} + n+1 \end{eqnarray*}$ sind die beiden n, die 2 und auch die 1 offentsichtlich rational.
Und der Wurzelausdruck wäre nur rational, wenn beide Faktoren Quadratzahlen sind, was jedoch nicht sein kann, weil s.o.

Fertig?

Wie gesagt: Das Produkt zweier Nicht-Quadrate kann ein Quadrat sein. Der entscheidende Punkt in dieser Argumentation muss sein, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind.

Denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} ab \text{ Quadrat und } a,b \text { teilerfremd} \Rightarrow a \text{ und } b \text{ Quadrate } \end{eqnarray*}$

Insgesamt wird diese Argumentation damit unnötig lang. Daher würde ich die einfach Abschätzung, die zeigt, dass der fragliche Ausdruck zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen liegt, vorziehen.

12.11.2012, 13:19

strategic

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Ok, dank dir.

Ich werde mit der Abschätzung argumentieren.

-
Aber falls du hier noch reinschaust, ich muss zwar nicht, aber WILL es verstehen:

Zitat:
<<Wie gesagt: Das Produkt zweier Nicht-Quadrate kann ein Quadrat sein.>>

Allgemein ja, aber das ist in meinem konkreten Fall unmöglich, oder? Weil sie hier aufeinanderfolgen müssen. Z.b. 3*4, 4*5, 5*6, 21*22 usw. und das könnten ja nie Quadrate werden.

<<Der entscheidende Punkt in dieser Argumentation muss sein, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind.

Denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} ab \text{ Quadrat und } a,b \text { teilerfremd} \Rightarrow a \text{ und } b \text{ Quadrate } \end{eqnarray*}$ >>

Genau dieser Abschnitt leuchtet mir zum wiederholten Male leider nicht ein. Ich verstehe was Teilerfremdheit ist, z.b. sind 2 und 3 teilerfremd. Aber wie hängt das mit Quadraten zusammen, kannst du mir ein Beispiel geben für was du meinst?

Danke sehr für deine Mühe, tmo.

12.11.2012, 13:24

tmo

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Eine Zahl ist ja genau dann ein Quadrat, wenn alle Exponenten in der Primfaktorzerlegung gerade sind.

Wenn man nun zwei nicht-Quadrate multipliziert, so kann es ja passieren, dass sich die ungeraden Exponenten gerade gegenseitig aufheben und ein Quadrat entsteht:

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 3^3 \cdot 5 \cdot 7^4 \end{eqnarray*}$ ist kein Quadrat.

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot 5^5 \end{eqnarray*}$ ist auch kein Quadrat.

Das Produkt $\begin{eqnarray*} 3^4 \cdot 5^6 \cdot 7^4 \end{eqnarray*}$ ist jedoch ein Quadrat.

Wenn man aber nun zweil teilerfremde Nicht-Quadrate hat, so kann dieses Phänomen natürlich nich eintreten, weil man keine gemeinsamen Primteiler in der Primfaktorzerlegung hat.

12.11.2012, 18:38

strategic

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genial.

Danke!

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