Abschätzung für Hilberträume

07.11.2012, 17:50

0funktion

Abschätzung für Hilberträume

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} H[\latex] ein Hilbertraum und [latex]K_{1}[\latex] und [latex][latex]K_{2}[\latex] zwei konvexe, nicht-leere abgeschlossene Mengen, [latex]K_{1}\subseteq [latex]K_{2}[\latex] und [latex]P_{K_{i}}[\latex] die orthogonale Projektion auf [latex]K_{i}[\latex]. Beweisen Sie: für [latex]x\in H[\latex] gilt: [latex]\norm{P_{K_{1}}-P_{K_{i}}}^{2}\leq 2(d(x,K_{1}^{2})+d(x,K_{2}^{2})[\latex] Meine Ideen: Meine Idee: [latex]\norm{P_{K_{1}}-P_{K_{i}}}^{2}=\norm{P_{K_{1}}-x+x-P_{K_{i}}}^{2} \end{eqnarray*}$ .
Nach der Parallelogrammidentität ist das gleich
[latex]2\norm{P_{K_{1}}-x}^{2}+2\norm{P_{K_{2}}-x}^{2}-\norm{P_{K_{1}}-x-x-P_{K_{2}}}^{2}[\latex] und hier stehe ich an. Wie kann ich zeigen, dass der letztes Ausdruck [latex]\leq -4[P_{K_{2}}-x]^{2}[\latex] ist? Denn damit hätte ich die Aufgabe gezeigt.. Bitte um Hilfe.

07.11.2012, 23:43

Abakus

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RE: Abschätzung für Hilberträume
Hallo,

bitte schreibe das sauberer. Wenn du angemeldet wärest, könntest du deinen Beitrag noch editieren (oder klicke Vorschau jeweils).

Abakus smile

08.11.2012, 01:41

RavenOnJ

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RE: Abschätzung für Hilberträume
Es heißt am Ende einer Latex-Umgebung [/latex], nicht mit backslash. Die \norm wird auch nicht akzeptiert, stattdessen \| ... \|

Dann übernehm ich mal dies Arbeit (ohne Gewähr)

Zitat:

Original von 0funktion
Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ein Hilbertraum und $\begin{eqnarray*} K_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_{2} \end{eqnarray*}$ zwei konvexe, nicht-leere abgeschlossene Mengen, $\begin{eqnarray*} K_{1}\subseteq K_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{K_{i}} \end{eqnarray*}$ die orthogonale Projektion auf $\begin{eqnarray*} K_{i} \end{eqnarray*}$ .
Beweisen Sie: für $\begin{eqnarray*} x\in H \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \|{P_{K_{1}}-P_{K_{i}}}\|^{2}\leq 2\{d(x,K_{1}^{2})+d(x,K_{2}^{2})\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} \|{P_{K_{1}}-P_{K_{i}}}\|^{2}=\|{P_{K_{1}}-x+x-P_{K_{i}}}\|^{2} \end{eqnarray*}$ .
Nach der Parallelogrammidentität ist das gleich
$\begin{eqnarray*} 2\|{P_{K_{1}}-x}\|^{2}+2\|{P_{K_{2}}-x}\|^{2}-\|{P_{K_{1}}-x-x-P_{K_{2}}}\|^{2} \end{eqnarray*}$ und hier stehe ich an. Wie kann ich zeigen, dass der letztes Ausdruck $\begin{eqnarray*} \leq -4[P_{K_{2}}-x]^{2} \end{eqnarray*}$ ist? Denn damit hätte ich die Aufgabe gezeigt.. Bitte um Hilfe.

Gruß
Peter

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