Satz von Green

07.11.2012, 17:51	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Green Meine Frage: Komme bei einem Beweis nicht wirklich weiter, bzw. irgendetwas stimmt bei meiner Rechnung überhaupt nicht. Es sei $\begin{eqnarray} M \subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ein Normalbereich, dessen Rand sich durch die stückweise stetig diff'bare Funktion $\begin{eqnarray} \gamma : [0,2\pi] \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ der Form $\begin{eqnarray} \gamma(\phi) = \begin{pmatrix} r(\phi)cos(\phi) \\ r(\phi)sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} r : [0,2\pi] \to \mathbb R_+ \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r(0) = r(2\pi) \end{eqnarray}$ parametrisieren lässt. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Green, dass sich die Fläche $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \|M\| = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \! r^2(\phi) \, d\phi \end{eqnarray}$ berechnen lässt. Meine Ideen: Ich habe mir schon ein Paar Gedanken gemacht und zwar folgene. Zuerst einmal habe ich folgendes gefunden $\begin{eqnarray} 1 = \frac{1}{2}rot \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Akso habe ich mal angesetzt $\begin{eqnarray} \|M\| = \int_{\partial M}^{} \! 1 \, dx = \int_\gamma^{} \! \frac{1}{2}rot\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \, dxdy = \frac{1}{2} \int_\gamma^{} \! 2 \, dxdy = \int_0^{2\pi} \! \int_0^{r(\phi)} \! r \, dr \, d\phi = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \! r^2(\phi) \, d\phi \end{eqnarray}$ Normal würde ich hier sagen ok und $\begin{eqnarray} q.e.d \end{eqnarray}$ aber ich muss sagen, dass ich etwas getrixt habe und bestimmt irgendwo ein Fehler ist. Könnte mir diesen jemand aufzeigen ? lg alex
08.11.2012, 11:58	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir denn hier niemand weiterhelfen ? lg alex
09.11.2012, 11:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnung ist ok. Die Formel nennt man in einigen Büchern übrigens "Leibnizsche Sektorformel".
09.11.2012, 16:59	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Zusatzinformation, werde mich nochmal damit auseinandersetzen lg alex

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