Äquivalenzrelation und Partition

07.11.2012, 17:54

R3dM

Äquivalenzrelation und Partition

Meine Frage:
Hallo brauche mal Hilfe bei einer Aufgabe.

M sei die Menge {a, b, c, d, e, f} und $\begin{eqnarray*} R \subseteq M x M \end{eqnarray*}$ folgende Relation:

R = {(e,e), (f,d), (c,a), (b,f)}.

1. Geben Sie die (bezüglich Mengeninklusion) kleinste Äquivalenzrelation ~ an, die R umfasst.

2. Geben Sie die zu ~ gehörige Partition M/~ von M an.

3. Geben Sie eine Funktion f: M -> $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ an, deren Urbildpartition {{a,c}, {b,d,f}, {e}} ist.

Meine Ideen:
Zu 1. Ich muss alle Paare zu ~ hinzufügen damit aus R eine Äquivalenzrelation wird

R = {(e,e), (f,d), (c,a), (b,f)}
~ = R $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (f,f), (d,f), (a,c), (f,b), (d,b), (b,d)}

Zu 2. Parition M/~ ist die Menge der Äquivalenzklassen

M/~ = {{a,c}, {f,b,d}, {e}}

Zu 3. fehlt mir leider noch die Idee

07.11.2012, 21:15

zweiundvierzig

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Deine Relation ist jetzt reflexiv, aber weder symmetrisch noch transitiv.

Übrigens nennt man jedes 2-Tupel $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ein Paar, nicht nur diejenigen von der Form $\begin{eqnarray*} (a,a) \end{eqnarray*}$ .

07.11.2012, 21:23

R3dM

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Und warum genau???

R = {(e,e), (f,d), (c,a), (b,f)}
~ = R $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (f,f), (d,f), (a,c), (f,b), (d,b), (b,d)}

aus R (f,d) hab ich in ~ (d,f) hinzugefügt
aus R (c,a) hab ich in ~ (a,c) hinzugefügt
aus R (b,f) hab ich in ~ (f,b) hinzugefügt

damit hab ich doch die symmetrischen drin.

würde ich alle die zur Menge M passenden hinzufügen hätte ich ja nicht die kleinste Äquivalenzrelation mehr die R umfasst sondern die die M umfasst.

oder versteh ich da was falsch

07.11.2012, 21:36

zweiundvierzig

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Okay, da hab ich vorhin völlig danebengehauen. Forum Kloppe

Deine Lösungen für 1. und 2. ist vollkommen korrekt und ich habe einfach nicht richtig gelesen. Ich bitte Dich um Entschuldigung.

Zu 3.: Was musst denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ je mit zwei Elementen machen, die in demselben Element der Urbildpartition liegen?

07.11.2012, 22:05

R3dM

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kein Problem

Zu deiner Frage genau da liegt gerade mein Problem ich weiß durch die Aufgabe das gilt:
$\begin{eqnarray*} f ^{-1} \end{eqnarray*}$ ( {Irgendwas} ) = {a,c}
$\begin{eqnarray*} f ^{-1} \end{eqnarray*}$ ( {Irgendwas} ) = {b,d,f}
$\begin{eqnarray*} f ^{-1} \end{eqnarray*}$ ( {Irgendwas} ) = {e}

Und ich muss jetzt f finden.

Nur hab ich leider keine ahnung wie ich f definieren kann das aus mengen natürliche Zahlen werden.

edit: latex edit

07.11.2012, 22:37

zweiundvierzig

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Du kannst $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ziemlich willkürlich definieren -- solange eben die besagte Bedingung eingehalten wird.

07.11.2012, 22:47

R3dM

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das heißt ich kann einfach schreiben

beispielhaft
f({a,c}) = {x | x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ }

und wär ja damit fertig....

ich frage mich nur wie ich formal schreiben kann das ein Buchstabe auf eine Zahl abgebildet wird...

alle funktionen die ich bisher gesehn habe sahen eher so aus:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \Rightarrow \mathbb N , f: x \Rightarrow x^{2} \end{eqnarray*}$

und die bilden ja nur Zahlen auf Zahlen ab....
oder ich hatte immer die mengen definiert und da waren auch nur zahlen drin

07.11.2012, 22:50

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von R3dM
f({a,c}) = {x | x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ }

Du musst $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ definieren und nicht auf $\begin{eqnarray*} \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$ . D.h., $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ab, nicht Teilmengen. Du kannst ganz konkret angeben, auf jeweils welche natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} a,\ldots,f \end{eqnarray*}$ abgebildet werden soll.

07.11.2012, 22:57

R3dM

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okay...

d.H. ich kann beispielhaft einfach sagen

$\begin{eqnarray*} f(a) = 1 f(b) = 2 f(c) = 3 f(d) = 4 f(e) = 5 f(f) = 6 \end{eqnarray*}$

und bin fertig?

08.11.2012, 10:57

miniradio

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Müsste es nicht f(a)=1, f(b)=1 und f(b, d und f)=2 und f(e)=3 sein?
dann sind die urbilder (1,a), (1,c), usw und somit die.partition davon {a,c}

sorry kann grad nur mit handy schreiben...

08.11.2012, 11:50

R3dM

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klingt zumindest logischer als meins...

naja werd ich spätestens nächste woche genau wissen

08.11.2012, 19:36

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von miniradio
Müsste es nicht f(a)=1, f(b)=1 und f(b, d und f)=2 und f(e)=3 sein?

Du meintest wohl $\begin{eqnarray*} f({ \color{red} c}) = 1 \end{eqnarray*}$ . Dann stimmt es.
Übrigens hätten wir die Abbildung lieber anders nennen sollen, da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ schon ein Urbildelement ist, sagen wir $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Die korrekte Schreibweise lautet damit $\begin{eqnarray*} \varphi(b):=\varphi(d):=\varphi(f) := 2 \end{eqnarray*}$ usw.

@R3dM: Ich hoffe, Du erkennst damit, dass es offensichtlich mehrere Möglichkeiten gibt, eine solche Abbildung zu definieren.

08.11.2012, 19:37

R3dM

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jop... wurde erkannt^^

Danke an euch für die Hilfe

08.11.2012, 19:40

zweiundvierzig

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Alles klar. Wink

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