Konvergenz und Grenzwert nachweisen

07.11.2012, 18:34

Rosa_Plüschritter94

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Konvergenz und Grenzwert nachweisen

Hey

smile

Wir sollen bei einigen Gleichungen nachweisen, ob sie konvergieren und falls ja, gegen welchen Grenzwert. Nun ist mir bei folgenden zwei gleichungen klar, dass sie konvergieren und wie der Grenzwert aussieht. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das logisch nachweisen soll. Könntet ihr mir da irgend einen Anstoß geben?

1) $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n+1} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n} \end{eqnarray*}$
Meine Idee wäre: Weil $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n+1} \end{eqnarray*}$ gegen + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ konvergiert und - $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n} \end{eqnarray*}$ gegen - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ konvergiert ergibt sich: $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ + (- $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) = 0
Es konvergiert also gegen 0.

Allerdings hatten wir gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist, was mich dann stutzig macht :-/

2) $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}} \end{eqnarray*}$
Hier würde ich sagen, konvergiert es gegen 1, allerdings hab ich keinen Schimmer, wie ich das zeige.

Vielen Dank schon mal für jeden Tipp smile

smile

07.11.2012, 18:45

Iorek

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RE: Konvergenz und Grenzwert nachweisen

Zitat:

Original von Rosa_Plüschritter94
Meine Idee wäre: Weil $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n+1} \end{eqnarray*}$ gegen + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ konvergiert und - $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n} \end{eqnarray*}$ gegen - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ konvergiert ergibt sich: $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ + (- $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) = 0
Es konvergiert also gegen 0.

Allerdings hatten wir gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist, was mich dann stutzig macht :-/

In der Tat ist $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ nicht defniert, da kann theoretische alles mögliche als Ergebnis rauskommen. $\begin{eqnarray*} a_n=n^2-n \end{eqnarray*}$ , nach deiner Argumentation wäre das wieder $\begin{eqnarray*} \infty-\infty=0 \end{eqnarray*}$ , der korrekte Grenzwert ist allerdings $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=\infty \end{eqnarray*}$ .

Versuch stattdessen den Ausdruck so zu erweitern, dass ähnlich wie bei der dritten binomischen Formel die Wurzeln verschwinden (Bsp. $\begin{eqnarray*} \sqrt a -\sqrt b = (\sqrt a-\sqrt b)\cdot \frac {(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b)}=\frac {a-b}{\sqrt a+\sqrt b} \end{eqnarray*}$ .

07.11.2012, 19:05

Rosa_Plüschritter94

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Ok, ich hoffe ich hab das jetzt richtig verstanden:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n+1} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n} \end{eqnarray*}$

=( $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n+1} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n} \end{eqnarray*}$ )* $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})}{\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{n+1-n}{\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$

07.11.2012, 19:17

Iorek

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Nein, das stimmt so nicht. $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n+1}\cdot \sqrt[3]{n+1}=\sqrt[3]{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$ . Außerdem hast du auch nicht mit der dritten binomischen Formel erweitert sondern mit der zweiten. Und: das von mir angesprochene Vorgehen enthält nur eine ähnliche Formel wie die dritte binomische Formel, man muss es etwas abändern.

Die Idee ist aber richtig und führt letztendlich auch zum Grenzwert, du musst nur den richtigen Ausdruck zum Erweitern finden.

07.11.2012, 19:37

Rosa_Plüschritter94

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}<br /> = (\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n})*\frac{(\sqrt[3]{(n+1)^{2}} + \sqrt[3]{n^{2}})}{\sqrt[3]{(n+1)^{2}} + \sqrt[3]{n^{2}}}<br /> =\frac{n+1-n}{\sqrt[3]{(n+1)^{2}} + \sqrt[3]{n^{2}}}<br /> =\frac{1}{\sqrt[3]{(n+1)^{2}} + \sqrt[3]{n^{2}}} \end{eqnarray*}$

So, jetzt richtig?

07.11.2012, 19:45

Iorek

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Hast du das denn mal nachgerechnet? Bleibt im Zähler wirklich $\begin{eqnarray*} n+1-n \end{eqnarray*}$ stehen? unglücklich

unglücklich

Noch einmal: du kannst nicht einfach die dritte binomische Formel aus der Schule kopieren. Du brauchst einen anderen Ausdruck, um diesen Effekt zu erzielen. Wenn dir dieser nicht bekannt ist, dann schlag doch mal z.B. auf Wikipedia die binomische Formel nach, vielleicht lassen sich da ja Verallgemeinerungen finden für den Fall, dass der Exponent mal nicht 2 ist...

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07.11.2012, 20:01

Rosa_Plüschritter94

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http://upload.wikimedia.org/math/e/f/f/eff0ded1452ee4a80187dc8f12500dad.png

Das muss ich wahrscheinlich benutzen.... aber ich bin da echt überfragt, wie ich das machen soll...

07.11.2012, 20:07

Iorek

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Nein, das ist die (allgemeine) binomische Formel. Unter Verallgemeinerungen steht aber etwas zur Faktorisierung von $\begin{eqnarray*} a^3-b^3 \end{eqnarray*}$ , das könnte hilfreich sein.

07.11.2012, 20:42

Rosa_Plüschritter94

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Ok...

also setze ich in die Formel ein:

n+1+n= $\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}) * ((\sqrt[3]{n+1})^{2} + \sqrt[3]{n+1} + \sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^{2}) \end{eqnarray*}$

und das hab ich dann soweit aufgelöst, dass ich erhalte:

2n+1=1+ $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}+n} - \sqrt[3]{n^{2}+n} \end{eqnarray*}$
2n= $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}+n} - \sqrt[3]{n^{2}+n} \end{eqnarray*}$

07.11.2012, 20:47

Iorek

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Ich weiß jetzt nicht ganz genau was du da gemacht hast... verwirrt

verwirrt

Auf Wikipedia steht: $\begin{eqnarray*} a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \end{eqnarray*}$ . Wir haben in der Folge $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]n \end{eqnarray*}$ gegeben und wollen die Wurzeln wenn möglich entfernen. Dazu sollte also jede Wurzel (einzeln) mit 3 potenziert werden, d.h. es soll $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt[3]{n+1}\right)^3-\left(\sqrt[3]n\right)^3 \end{eqnarray*}$ da stehen, wie lässt sich das mit Hilfe dieser Formel bewerkstelligen (sprich: wie müssen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gewählt werden, damit es passt)?

07.11.2012, 20:50

Bronco Bamma

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Kleiner Einwurf - bin dann auch direkt wieder weg:

Sollte Dir der -zweifellos zielführende- Weg über die Faktorisierung zu kompliziert erscheinen,
dann könntest Du auch aus der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel folgern, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\leq \sqrt[3]{\frac 1{n^2}} \end{eqnarray*}$

womit der Drops gelutscht wäre.

07.11.2012, 20:56

Rosa_Plüschritter94

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naja, a= $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n+1} \end{eqnarray*}$
und b=a= $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n} \end{eqnarray*}$

So hab ich das jedenfalls gemacht. Und dann hab ich das für a und b eingesetzt und am Ende das rausbekommen, was ich oben geschrieben habe. Denn die dritten Wurzeln hoch 3 lösen sich ja dann auf und ich habe "n+1+n" zu stehen.

07.11.2012, 21:01

Iorek

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Ok, das sollte also schon die Formel sein, dann hast du aber einen Fehler eingebaut. Dort steht nämlich $\begin{eqnarray*} a\cdot b \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber: jetzt weißt du, womit du erweitern musst. Danach bleibt im Zähler eben nur noch $\begin{eqnarray*} n+1-n=1 \end{eqnarray*}$ stehen, wie sieht es dann im Nenner aus?

07.11.2012, 21:04

Rosa_Plüschritter94

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Hmm... Zähler und Nenner? ich hab bei mir nichts mit bruch rausbekommen... Moment ich schreib mal meinen Rechenweg komplett auf, vielleicht kannst du dann sagen wo ich mal wieder was falsch gemacht habe...

07.11.2012, 21:15

Rosa_Plüschritter94

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n+1+n= $\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{n+1} -\sqrt[3]{n}) * ((\sqrt[3]{n+1})^{2}+\sqrt[3]{n+1}*\sqrt[3]{n}+(\sqrt[3]{n})^{2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{n+1} -\sqrt[3]{n}) * (\sqrt[3]{(n+1)^{2}}+\sqrt[3]{n^{2}+n}+\sqrt[3]{n^{2}} \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

07.11.2012, 21:22

Iorek

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Hmm, du scheinst das größere Ziel etwas aus den Augen verloren zu haben, kann das sein?

Wir haben die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]n \end{eqnarray*}$ . Ich habe dir dann empfohlen, diesen Ausdruck möglichst so zu erweitern, dass die Wurzeln wegfallen und den Vorgang beispielhaft für eine mögliche Anwendung der (üblichen) dritten binomischen Formel oben ausgeführt. Für den eigentlichen Ausdruck mit der dritten Wurzel mussten wir etwas anderes suchen, das haben wir jetzt gefunden. Erweiter also damit ähnlich wie in dem Beispiel oben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2012, 21:27

Rosa_Plüschritter94

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Ich glaube langsam gibt mein Kopf auf :-/ ich muss es nur bis morgen fertig haben unglücklich

unglücklich

Ich kann dir im Moment nicht ganz folgen. Welchen Ausdruck haben wir denn jetzt, wo die dritte Wurzel entfernt wurde?

07.11.2012, 21:41

Iorek

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Dann mal ein komplettes Beispiel:

Wir betrachten die Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt {n+1}-\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ . Was ist nun der Grenzwert dieser Folge bzw. existiert dieser überhaupt?

Dazu erweitern wir passend: $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot \frac {(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac {(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac 1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Nun können wir den Grenzwert bilden: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac 1{\underbrace{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}_{\rightarrow\infty}} = 0 \end{eqnarray*}$

Dieses Vorgehen wollen wir jetzt auf deine Folge übertragen, dort haben wir jetzt eben $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n} \end{eqnarray*}$ . Das können wir auch erweitern: $\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]n)\cdot \frac{(\dots)}{(\dots)} \end{eqnarray*}$ , die Pünktchen musst du jetzt nur entsprechend ersetzen; das was da hin soll, hatten wir oben auch schonmal festgehalten.

07.11.2012, 21:54

Rosa_Plüschritter94

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$\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{n+1} -\sqrt[3]{n}) * \frac{(\sqrt[3]{n+1} -\sqrt[3]{n})^{2}}{(\sqrt[3]{n+1} -\sqrt[3]{n})^{2}} \end{eqnarray*}$

Das müsste doch gelten, denn $\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{n+1} -\sqrt[3]{n}) * (\sqrt[3]{n+1} -\sqrt[3]{n})^{2} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{n+1} -\sqrt[3]{n}) *(\sqrt[3]{n+1} -\sqrt[3]{n}) *(\sqrt[3]{n+1} -\sqrt[3]{n}) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{n+1} -\sqrt[3]{n})^{3} \end{eqnarray*}$

Und nun kann man die Wurzel auflösen!?

07.11.2012, 22:01

Iorek

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Nein.

unglücklich

Warum haben wir denn den ganzen Kram mit

Zitat:

Original von Iorek
Auf Wikipedia steht: $\begin{eqnarray*} a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \end{eqnarray*}$ .

eben gemacht, wenn wir den gar nicht anwenden wollen?

Damit das hier endlich mal weitergeht: $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]n=(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]n)\cdot \frac {(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n+1}\cdot\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n^2})}{(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n+1}\cdot\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n^2})}=\frac {(n+1)-n}{{(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n+1}\cdot\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n^2})}} \end{eqnarray*}$

Damit solltest du nun den Grenzwert berechnen können.

07.11.2012, 22:07

Rosa_Plüschritter94

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Ahhh!

Im Zähler haben wir dann ja 1 und der Nenner ist abhängig von n. Wenn n nun Richtung unendlich geht, wird der Nenner ja immer größer und damit wird die Zahl an sich immer kleiner und nähert sich 0 an. Oder?

07.11.2012, 22:12

Iorek

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Ja, das ist der Gedanke dahinter.

07.11.2012, 22:13

Rosa_Plüschritter94

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Das kann man aber sicherlich nicht so sagen, sondern muss es wieder logisch formulieren?

07.11.2012, 22:15

Iorek

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Du solltest es zumindest unter Verwendung des Limes aufschreiben und dich auf die Grenzwertsätze beziehen.

07.11.2012, 22:20

Rosa_Plüschritter94

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Also weil der Zähler 1 ist und die unteren Faktoren allesamt gegen unendlich gehen, gilt: 1/unendlich. Und das ist laut Definition 0. Also geht es gegen 0.

07.11.2012, 22:24

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rosa_Plüschritter94
Also weil der Zähler 1 ist und die unteren Faktoren allesamt gegen unendlich gehen, gilt: 1/unendlich. Und das ist laut Definition 0. Also geht es gegen 0.

Es würde mich doch sehr wundern, wenn ihr wirklich $\begin{eqnarray*} \frac 1\infty=0 \end{eqnarray*}$ definiert hättet. geschockt

geschockt

Merke: Unendlich ist keine reelle Zahl, Ausdrücke wie $\begin{eqnarray*} \frac 1\infty \end{eqnarray*}$ oder wie ganz am Anfang $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} \frac \infty\infty \end{eqnarray*}$ sind vollkommen sinnlos. Ihr hattet aber doch bestimmt schon einige Standardgrenzwerte, $\begin{eqnarray*} \frac 1n\stackrel {n\rightarrow\infty}{\rightarrow} 0, \frac 1{n^2}\stackrel {n\rightarrow\infty}{\rightarrow} 0, \frac 1{\sqrt n} \stackrel {n\rightarrow\infty}{\rightarrow}0 \end{eqnarray*}$ , damit lässt sich die Argumentation führen, wenn man es ganz streng nimmt unter Verwendung der Grenzwertsätze und von mir aus auch noch des Sandwichlemmas. Wenn du es aber so wie oben in meinem Beispiel aufschreibst, sollte das eigentlich in Ordnung sein.

07.11.2012, 22:28

Rosa_Plüschritter94

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Doch, wir hatten definiert, dass für x€R gilt: x/unendlich = 0.

Aber ich werds dann lieber so machen, wie du jetzt nochmal gezeigt hast. ich danke dir für deine Riesenhilfe und deine scheinbar unendliche Ausdauer. War ne schwierige Geburt, aber ich denke, ich habs verstanden smile

smile

Danke!

08.11.2012, 08:53

Bronco Bamma

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In der Tat - so viel Geduld bringt nicht jeder auf!

Ich melde mich aber nochmals zu Wort weil es ja auch eine 2. Aufgabe im Eröffnungspost gab,
die ebenfalls (ich beziehe mich da auf meinen 1. Beitrag) mit der AM-GM-Ungleichung bequem gelöst werden kann.

Sie OBdA $\begin{eqnarray*} a=\max(a,~b,~c). \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} a+\frac{a\left(\left(\frac ba\right)^n+\left(\frac ca\right)^n\right)}n\geq\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\geq a. \end{eqnarray*}$

08.11.2012, 09:02

Iorek

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In der Tat, eine schöne Abschätzung. smile

smile

Ich wäre da eher über den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]q=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb R_+^* \end{eqnarray*}$ gegangen mit $\begin{eqnarray*} a^n\leq a^n+b^n+c^n\leq 3a^n \end{eqnarray*}$ und der Monotonie der Wurzel (und zumindest bei uns am Lehrstuhl müsste man $\begin{eqnarray*} \frac{a\left(\left(\frac ba\right)^n+\left(\frac ca\right)^n\right)}{n}\stackrel {n\to\infty}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ noch kurz begründen Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

08.11.2012, 10:16

Bronco Bamma

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
...zumindest bei uns am Lehrstuhl müsste man $\begin{eqnarray*} \frac{a\left(\left(\frac ba\right)^n+\left(\frac ca\right)^n\right)}{n}\stackrel {n\to\infty}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ noch kurz begründen Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

Was aber nach Wahl von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wegen

$\begin{eqnarray*} \frac{a\left(\left(\frac ba\right)^n+\left(\frac ca\right)^n\right)}n\leq\frac{2a}n \end{eqnarray*}$

ein Leichtes ist.

Ist am Ende vermutlich Geschmackssache wie man's macht - nur häufig wird bei Aufgaben dieser Art vergessen, dass der Stetigkeitsbegriff zu diesem Zeitpunkt i.d.R. noch nicht verfügbar ist.

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