Beweis: F3 ist Körper

07.11.2012, 19:07

Verdruss

Beweis: F3 ist Körper

Hallo!

Ich brauche etwas Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl. Arithmetik modulo n auf der Menge $\begin{eqnarray*} F_{n} = \left\{ 0,.....,n-1\right\} \end{eqnarray*}$ wird wie folgt definiert:
Addiere oder multipliziere wie gewohnt, dann subtrahiere das größtmögliche Vielfache von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , so dass das Ergebnis in $\begin{eqnarray*} F_{n} \end{eqnarray*}$ liegt.

a) Zeigen sie das $\begin{eqnarray*} F_{3} \end{eqnarray*}$ ein Körper unter Arithmetik modulo 3 ist, und dass $\begin{eqnarray*} F_{3} \end{eqnarray*}$ sich nicht zu einem geordneten Körper machen lässt.

An sich ist das ja klar, die Menge selbst macht mir keine Probleme. Nur das beweisen der Körperaxiome macht mir Schwierigkeiten, weil die Addition und Multiplikation so seltsam definiert sind. Es fällt mir schwer, formal für diese Addition z.B. das Assoziativgesetz zu beweisen. Mit dem zweiten Teil der Aufgabe habe ich keine Probleme, nur das Übertragen der Operationen in die Körperaxiome will mir nicht gelingen.

Hilfe bitte! Big Laugh

Verdruss

07.11.2012, 20:54

zweiundvierzig

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Überlege Dir, warum die Verknüpfungen in dieser Struktur wohldefiniert sind, d.h. dass für $\begin{eqnarray*} a \equiv a' \pmod 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \equiv b' \pmod 3 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a + b \equiv a' + b' \pmod 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \cdot b \equiv a' \cdot b' \pmod 3 \end{eqnarray*}$ gilt. Damit kannst Du Assoziativität und Kommutativität direkt aus den entsprechenden Gesetzen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ folgern.

Für die Existenz von $\begin{eqnarray*} 0,1 \end{eqnarray*}$ und den Inversen, gibt entsprechende Elemente an. Die Nachweise folgen hier auch wieder aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfungen.

07.11.2012, 23:25

Verdruss

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Also muss ich tatsächlich erst die Wohldefiniertheit der Verknüpfungen zeigen und kann dann einfach aus den Rechenregeln von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ableiten, dass diese auch in $\begin{eqnarray*} F3 \end{eqnarray*}$ gelten? Hmmm.. ich werds mal heute abend noch probieren. Danke schön schonmal!

07.11.2012, 23:42

mathinitus

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RE: Beweis: F3 ist Körper

Zitat:

Original von Verdruss
Addiere oder multipliziere wie gewohnt, dann subtrahiere das größtmögliche Vielfache von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , so dass das Ergebnis in $\begin{eqnarray*} F_{n} \end{eqnarray*}$ liegt.

Gibt doch nur ein Vielfaches mit dieser Eigenschaft.

08.11.2012, 01:11

Verdruss

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Das stimmt natürlich Big Laugh

Da wollte er wohl zu viel definieren.

Habe mich jetzt an die Wohldefiniertheit der Verknüpfungen rangewagt, Addition ging auch noch schnell von statten. Die Multiplikation stellt mich aber vor eine Mauer. Ich weiß nicht, wie ich zeige das

$\begin{eqnarray*} (a'*b')-(a*b) \end{eqnarray*}$ Durch drei Teilbar ist, bzw.

$\begin{eqnarray*} (a'*b')=(a*b)+3x \end{eqnarray*}$ gilt.... Ich komm einfach nicht drauf.

08.11.2012, 01:22

RavenOnJ

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arbeite doch mit Repräsentanten $\begin{align*} a+k n, b + l n \end{align*}$ was z.B. multipliziert ergibt: $\begin{align*} (a+kn)(b+ln) = ab + n(kb+la+lkn) \end{align*}$ wobei a und b jeweils der kleinste Rest sind. $\begin{align*} a'=a+kn, b'=b+ln \end{align*}$
$\begin{align*} a' b' - ab = (a+kn)(b+ln)-ab = n(kb+la+kln)\equiv 0 \mod n \end{align*}$
usw.

Gruß
Peter

08.11.2012, 01:36

Verdruss

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Aahh, klar! Ich hätte einfach beide Varianten verbinden müssen...

Alles klar, hab es raus. Danke schön! Jetzt kann ich beruhigt schlafen gehen :P

Verdruss

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