Grenzwert einer Folge mit Fakultät

07.11.2012, 21:10

Phill228

Grenzwert einer Folge mit Fakultät

Meine Frage:
Hey,
ich soll im Aufgabenteil (b) den Grenzwert der Folge

$\begin{eqnarray*} \frac{(k!)^{2} }{(2k)!} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Meine Ideen:
Leider komme ich nicht so klar mit der Fakultät.
Ich habe auch keine Idee wie ich da vorgehen soll.
Außer, dass ich bei (a) gezeigt habe:

$\begin{eqnarray*} 0\leq ak\leq \frac{1}{2}² \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir mal bei dem Ansatz helfen?

07.11.2012, 23:50

Bronco Bamma

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RE: Grenzwert einer Folge mit Fakultät
Zeige, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{(k!)^2}{(2k)!}\leq\frac 1{k+1}. \end{eqnarray*}$

12.11.2012, 20:55

qantas

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RE: Grenzwert einer Folge mit Fakultät
kannst du einen Tipp geben, wie man das zeigen kann, dass es kleiner als 1/(k+1)ist?

12.11.2012, 21:50

giu

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Hi qantas

Ich würde mal die ersten paar Terme beider Fakultäten ausschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{(k!)^2}{(2k)!} = \frac{k^2\cdot(k-1)^2\cdot\dots}{2k\cdot (2k-1)\cdot(2k-2)\cdot\dots\cdot k \cdot (k-1)\cdot\dots} \stackrel{\text{(kürzen)}}{=} \dots \end{eqnarray*}$

12.11.2012, 23:11

qantas

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Also ich habe es jetzt folgendermaßen weitergerechnet:

das Quadrat fällt oben weg, weil ich es mit der unteren rechten Seite kürze:

es steht noch da: $\begin{eqnarray*} \frac{(k!)^2}{(2k)!}%20=%20\frac{k\cdot(k-1)\cdot\dots}{2k\cdot%20(2k-1)\cdot(2k-2)\cdot\dots\cdot} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich mit dem übrigen aus dem Zähler jeden ungerade Faktor kürzen, da ich sie ausklammern kann $\begin{eqnarray*} \frac{(k!)^2}{(2k)!}%20=%20\frac{k\cdot(k-1)\cdot\dots}{2k\cdot%20(2k-1)\cdot2(k-1)\cdot\dots\cdot} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \frac{(k!)^2}{(2k)!}%20=%20\frac{1}{2\cdot%20(2k-1)\cdot2\cdot%20(2k-3)\cdot\dots\cdot} \end{eqnarray*}$

Die Faktoren, die den Wert 2 haben, kann man als $\begin{eqnarray*} 2^{\frac{k}{2}} \end{eqnarray*}$ schreiben. Somit sieht man, dass für lim k -> infinity der Nenner stetig größer wird. Entsprechend ist der Grenzwert 0. Ist das ausreichen als Beweis?

13.11.2012, 15:34

Matze9999

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Hi,

$\begin{eqnarray*} \frac{(k!)^2}{(2k)!} = \frac{k^2\cdot(k-1)^2\cdot\dots}{2k\cdot (2k-1)\cdot(2k-2)\cdot\dots\cdot k \cdot (k-1)\cdot\dots} \stackrel{\text{(kürzen)}}{=} \dots \end{eqnarray*}$

sorry für die Unterbrechung, aber wo kommt das $\begin{eqnarray*} k*\left(k-1\right) \end{eqnarray*}$ her? Dachte das (2k)! ausgeschrieben einfach nur 2k*(2k-1)*(2k-2).... wäre.

Vielen Dank

13.11.2012, 20:56

giu

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Hi Matze

Berechtigte Frage.

Tipp: Schau Dir die Fakultät mal von der anderen Seite an: $\begin{eqnarray*} 1\cdot 2\cdot\dots\cdot (k-1)\cdot k \cdot \dots\cdot(2k - 1)\cdot 2k \end{eqnarray*}$ .

Die Multiplikation die durch $\begin{eqnarray*} (2k)! \end{eqnarray*}$ entsteht enthält ja alle Zahlen von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2k \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$

14.11.2012, 09:14

Bronco Bamma

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RE: Grenzwert einer Folge mit Fakultät

Zitat:

Original von qantas
kannst du einen Tipp geben, wie man das zeigen kann, dass es kleiner als 1/(k+1)ist?

Nutze die Produktdarstellung:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n!)^2}{(2n)!}=\prod_{k=1}^n \frac k{n+k}\leq\frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$

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