Ungleichung mit mehreren Beträge - Mein Ergebnis bitte kontrollieren

07.11.2012, 23:25

gucksi

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Ungleichung mit mehreren Beträge - Mein Ergebnis bitte kontrollieren

Hallo ich muss folgende Betragsungleichung lösen

||3x-6|-2| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4
Im Fall 1 nehme ich beide Beträge als positiv an

3x-6 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0
x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2

3x-8 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0
x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 8/3
x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [ 8/3, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ )

3x-8 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4
x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4

Lösungsmenge für den Fall wo beide Beträge positiv sind lautet L = [4, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ )

Ist das bis hier hin richtig?

08.11.2012, 00:11

original

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RE: Ungleichung mit mehreren Beträge - Mein Ergebnis bitte kontrollieren

Zitat:

Original von gucksi

||3x-6|-2| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4

Lösungsmenge für den Fall wo beide Beträge positiv sind lautet L = [4, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ )

Ist das bis hier hin richtig?

smile

fast:..
nur: Beträge sind doch immer positiv ? ... verwirrt

verwirrt

.

08.11.2012, 14:17

gucksi

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RE: Ungleichung mit mehreren Beträge - Mein Ergebnis bitte kontrollieren
Hallo original

Ok dann hab ich mich falsch ausgedrückt mit "Beträge positiv"

Also heisst die Lösungsmenge für den 1. Fall L = [4, + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ )

Habe ich den 2. Fall so richtig ?:

3x-6 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0
x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2

3x-8<0
x< $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$
x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [2, $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ )

|3x-6|-2| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4
|3x-8| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4
-(3x-8) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4
x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -4

Lösungsmenge = { }

Richtig?

08.11.2012, 14:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von gucksi
-(3x-8) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4
x < -4

Lösungsmenge = { }

Das Fazit ist richtig, die rote Zeile aber falsch.

08.11.2012, 14:40

gucksi

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Hi HAL 9000

Aber warum ist
-(3x-8) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4
x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -4
falsch?

Wenn ich nach x auflöse erhalte ich aber x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -4
Oder wo ist mein Rechenfehler?

Danke

08.11.2012, 14:43

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} -(3x-8) &\geq& 4<br /> -3x+8 &\geq& 4<br /> -3x &\geq& -4<br /> x &\leq& -\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

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08.11.2012, 14:52

gucksi

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Ach ja ich trottel ....

Ok dann mach ich mich mal an den 3.Fall ran

3x-6 < 0
x < 2

3x-8 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0

x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

Ist gibt keinen Intervallbereich

Lösungsmenge = { }

Bitte sag mir das meine Lösung zum 3. Fall stimmt

08.11.2012, 14:57

HAL 9000

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Ja, stimmt.

EDIT: Ach Unsinn, du bringst einen mit deinen sparsamen Erklärungen in Teufels Küche: Du betrachtest doch $\begin{eqnarray*} 3x-6<0 \end{eqnarray*}$ , da ist aber

$\begin{eqnarray*} |3x-6|-2 = (6-3x)-2 = 4-3x \end{eqnarray*}$ ,

und damit musst du doch weiterrechnen!!!

08.11.2012, 15:06

gucksi

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Dann will ich nur noch hoffen dass nur noch der 4.Fall richtig ist, wobei ich leider gestehen muss, dass ich mir bei diesem sehr unsicher bin

Fall 4:

3x-6 < 0
x < 2

3x-8<0
x< $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$
x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ ( - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ,2)

|-(3x-6)-2| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4
|-3x+6-2| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4
|-3x+4| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4
-(-3x+4) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4
3x-4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4

x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

08.11.2012, 15:21

gucksi

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Verdammt!! Also stimmt mein 3.Fall doch nicht

Aber ich wollte doch erstmal die zwei Bedinungen der zwei Beträge aufstellen, was vorliegt wenn das x im ersten Betrag < 0 ist und das x im zweiten Betrag >= 0 ist

Um zu gucken ob es überhaupt einen Intervallbereich gibt. Ich bin hier also wie z.B. im 2. Fall vorgegangen wo der Term vom 1.Betrag x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 ist

also 1. Bedinungen x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2

und der zweite Betrag in dem das x < 0

Sorry ich steh jetzt auf dem Schlauch ..Bitte klär mich auf......

08.11.2012, 17:25

gucksi

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Ich habe hier mal, auch mit deinen Korrekturen, die Betragsungleichung hingeschrieben. Jetzt muss es aber bitte bitte bitte stimmen.

Vielen Dank für eure Kontrolle vorab

08.11.2012, 18:19

HAL 9000

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Die ersten drei Fälle stimmen jetzt. Im letzten Fall ist dir aber wieder ein Fehler unterlaufen, kurz vor Schluss:

Aus $\begin{eqnarray*} 3x-4 \geq 4 \end{eqnarray*}$ folgt mitnichten $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

08.11.2012, 18:38

gucksi

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Ach menno ..Schon wieder so ein blöder Fehler

Ja super! Vielen Dank für deine Kontrolle!!

ich habs jetzt umgeändert auf $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

Also habe ich da dann als Lösungsmenge L = { }

Richtig?

Ich scann dir nur mal schnell die Zeichnung vom Zahlenstrah nur mal kurz aufs Blatt und scanns dir ein, warum ich da jetzt L = { } hingeschrieben habe....

08.11.2012, 18:45

HAL 9000

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Alternativlösung
Zuerst etwas "technisches": Man kann auch erstmal die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L' \end{eqnarray*}$ der gegensätzlichen Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left| |3x-6|-2 \right| < 4 \qquad (*) \end{eqnarray*}$

bestimmen, dann ist $\begin{eqnarray*} L=D\setminus L' \end{eqnarray*}$ die Lösungsmenge der Originalungleichung, dabei kennzeichnet $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ deren Definitionsmenge, hier einfach $\begin{eqnarray*} D=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , d.h. alle reellen Zahlen (gibt ja keine Brüche oder Wurzeln, die das ggfs. einschränken).

Wegen des für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ gültigen

$\begin{eqnarray*} |x| < a \quad \Longleftrightarrow \quad -a < x < a \end{eqnarray*}$

kann man Ungleichung (*) folgendermaßen äquivalent umformen:

$\begin{eqnarray*} \left| |3x-6|-2 \right| < 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4 < |3x-6|-2 < 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 < |3x-6| < 6 \end{eqnarray*}$

Die linke Bedingung ist obsolet, da der Betrag einer Zahl eh immer nichtnegativ ist.

$\begin{eqnarray*} |3x-6| < 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x-2| < 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 < x-2 < 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < x < 4 \end{eqnarray*}$

Mit diesem $\begin{eqnarray*} L'=(0,4) \end{eqnarray*}$ folgt für die Originalungleichung die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L = \mathbb{R}\setminus L' = (-\infty,0] \cup [4,\infty) \end{eqnarray*}$ .

08.11.2012, 19:04

gucksi

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RE: Alternativlösung
Und wenn ich solche Aufgaben diesen Weg der Fallunterscheidungen mache, ginge das aber auch ? (Bin mir mehr als sicher dass deine Rechenweise besser und schneller ist als meine..!)

Aber muss leider gestehen, dass ich mir beim diesem Vorgehen in der Klausur zu unsicher bin.

Die Zeichnung die ich dir geschickt habe, wegen dem Fall 4.

Ist meine Begründung so richtig da ich für Fall 4 L={ } hingeschrieben habe, da das Ergebnis x >= 8/3 AUßERHALB des Intervalls von (4/3 , 2) liegt, gibt es hier keine Lösung.
Hab ich das so richtig verstanden?

08.11.2012, 19:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von gucksi
Und wenn ich solche Aufgaben diesen Weg der Fallunterscheidungen mache, ginge das aber auch ?

Ja klar, hast du ja oben gemacht - mit dem selben Endergebnis.

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