Grenzwert Folge

08.11.2012, 02:25

Lara_mag_Chemie

Grenzwert Folge

Hallo

Würde mir bitte jemand einen Tipp geben wie man bei folgenden Folgen den Grenzwert berechnet?

$\begin{eqnarray*} \mathrm{lim}_{n \to \infty} \dfrac{ 4^{n+1} +3^n }{4^n +3 } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \mathrm{lim}_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 +1} - \sqrt{n^2 -2n - 1} \right) \end{eqnarray*}$

Grüße

08.11.2012, 03:41

xenophil

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Vielleicht hilft dir das (die beiden können recht analog gerechnet werden):

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}\frac{4^{n+1}+3^n}{4^n+3}= lim_{n \to \infty}\frac{\frac{4^{n+1}}{4^n}+\frac{3^n}{4^n}}{1+\frac{3}{4^n}} \end{eqnarray*}$

Einfach mal durch die höchste Potenz im Nenner teilen, dann kommt man auf das, was ich da gerechnet habe. Jetzt einfach nur noch Potenzgesetze anwenden und du bist so gut wie fertig. smile

Bei der zweiten Aufgabe würde ich die Wurzeln vielleicht in Potenzen umschreiben und schauen, wie weit ich da komme mit einer halbwegs analogen Vorgehensweise. smile

Viele Grüße

08.11.2012, 07:49

Mystic

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Zitat:

Original von xenophil
Bei der zweiten Aufgabe würde ich die Wurzeln vielleicht in Potenzen umschreiben und schauen, wie weit ich da komme mit einer halbwegs analogen Vorgehensweise. smile

Ich weiß nicht, was es bringen soll, die "Wurzeln als Potenzen umzuschreiben"... Vor der "halbwegs analogen Vorgehensweise" muss man hier statt dessen die dritte binomische Formel in der Form

$\begin{eqnarray*} a-b =\frac{a^2-b^2}{a+b} \end{eqnarray*}$

anwenden... Augenzwinkern

08.11.2012, 08:37

xenophil

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Oder so

09.11.2012, 09:10

Lara_mag_Chemie

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Hallo

Die erste Folge konnte ich so berechnen. Danke. Bei der zweiten klemmt es noch. Wenn ich die dritte binomische Formel anwende, dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \mathrm{lim}_{n \to \infty} \dfrac{2n+2}{ \sqrt{n^2 +1} + \sqrt{n^2-2n-1} } \end{eqnarray*}$

Wie geht es nun weiter?

Grüße

09.11.2012, 09:14

Bronco Bamma

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Kürze den Bruch durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und wende die Grenzwertsätze an!

09.11.2012, 09:22

Bronco Bamma

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Du könntest (vielleicht etwas eleganter) auch einfach abschätzen und per Einschließungskriterium folgern:

$\begin{eqnarray*} 1\leq\frac{2n+2}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-2n-1}}\leq\frac{2n+2}{2n-2}\longrightarrow 1. \end{eqnarray*}$

09.11.2012, 10:57

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Bronco Bamma
$\begin{eqnarray*} 1\leq\frac{2n+2}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-2n-1}}\leq\frac{2n+2}{2n-2}\longrightarrow 1. \end{eqnarray*}$

Deine Abschätzung für den Nenner ist aber nicht gut, da zwar $\begin{align*} \sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-2n-1}> 2 \sqrt{n^2-2n-1} \end{align*}$ , aber
$\begin{align*} \sqrt{n^2-2n-1}\not\ge n-1 \end{align*}$ . Es gilt jedoch $\begin{align*} \sqrt{n^2-2n-1}> n-2 \end{align*}$ , was denselben Zweck erfüllt.

Du hättest also besser schreiben sollen:

$\begin{eqnarray*} 1\leq\frac{2n+2}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-2n-1}}\leq\frac{2n+2}{2n-4} \end{eqnarray*}$

Gruß
Peter

09.11.2012, 11:02

Mystic

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Und nebenbei, deine LaTeX-Natation hier

Zitat:

Original von Lara_mag_Chemie
$\begin{eqnarray*} \mathrm{lim}_{n \to \infty} \dfrac{2n+2}{ \sqrt{n^2 +1} + \sqrt{n^2-2n-1} } \end{eqnarray*}$

ist doch etwas seltsam, so als ob LaTeX lim als Formelzeichen nicht kennen würde... Das schreibt man natürlich so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{2n+2}{ \sqrt{n^2 +1} + \sqrt{n^2-2n-1} } \end{eqnarray*}$

09.11.2012, 11:16

Bronco Bamma

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@RavenOnJ:

Ich finde sie aber sehr gut - und jetzt!?!?

Spaß beseite. Die in der Mathematik gängigen Kategorien sind doch eher 'richtig' und 'falsch'.

Sollte die monierte Abschätzung in letztere Fallen, dann widerlege sie einfach an einem Gegenbeispiel.

Um die Hoffnungslosigkeit dieses Unterfangens zu belegen und Dir unnötige Arbeit zu ersparen betrachte zuvor (für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-2n-1}>\sqrt{n^2}+\sqrt{n^2-4n+4}=n+(n-2)=2n-2 \end{eqnarray*}$

Also in Zukunft vor dem Versenden zweifelhafter 'Verbesserungsvorschläge' bitte genau hingucken!

09.11.2012, 11:40

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Bronco Bamma

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-2n-1}>\sqrt{n^2}+\sqrt{n^2-4n+4}=n+(n-2)=2n-2 \end{eqnarray*}$

Also in Zukunft vor dem Versenden zweifelhafter 'Verbesserungsvorschläge' bitte genau hingucken!

hast recht Hammer

Gruß
Peter

09.11.2012, 12:28

Lara_mag_Chemie

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Zitat:

Original von Bronco Bamma
Du könntest (vielleicht etwas eleganter) auch einfach abschätzen und per Einschließungskriterium folgern:

$\begin{eqnarray*} 1\leq\frac{2n+2}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-2n-1}}\leq\frac{2n+2}{2n-2}\longrightarrow 1. \end{eqnarray*}$

Hi

Danke für diese Abschätzung. Leider kann ich diese nicht nachvollziehen. Könnte mir bitte jemand erklären weshalb das gilt und wie man darauf kommt?

Gruß

09.11.2012, 13:08

RavenOnJ

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ganz allgemein: wenn du in einem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ den Nenner durch eine Funktion ersetzt, die kleiner oder gleich g(x) ist, z.B. $\begin{eqnarray*} h(x) \le g(x) \end{eqnarray*}$ , dann gilt die Abschätzung:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{g(x)} \le \frac{f(x)}{h(x)} \end{eqnarray*}$
Wenn du andererseits g(x) durch eine Funktion ersetzt die größer oder gleich ist, z.B. $\begin{align*} k(x) \ge g(x) \end{align*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{g(x)} \ge \frac{f(x)}{k(x)} \end{eqnarray*}$

Dies kannst du bei der Abschätzung des Limes gebrauchen, um den komplizierten Ausdruck durch einfachere zu ersetzen, deren Limes einfach zu bilden ist. Bronco hat in seinem vorigen Post schon erläutert, wie er zu einem Nenner kommt, der kleiner als $\begin{align*} \sqrt{n^2+1 }+\sqrt{n^2-2n-1} \end{align*}$ ist.

Für die Abschätzung des komplizierten Ausdrucks $\begin{eqnarray*} \frac{2n+2}{\sqrt{n^2+1 }+\sqrt{n^2-2n-1}} \end{eqnarray*}$ nach unten kann man benutzen, dass
$\begin{eqnarray*} n+1>\sqrt{n^2+1}>\sqrt{n^2-2n-1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 2(n+1)>\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-2n-1} \end{eqnarray*}$

Gruß
peter

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