zwei normen nicht äquivalent im folgenraum

08.11.2012, 08:37

puff

zwei normen nicht äquivalent im folgenraum

Meine Frage:
hallo,
ich soll zeigen, dass die beiden normen
$\begin{eqnarray*} || (x_n) ||_1 = \sum\limits_{j=1}^\infty n | x_j | <br /> || (x_n) ||_2 = (\sum\limits_{j=1}^\infty n | x_j |^2 )^1/2 \end{eqnarray*}$
auf X, dem Raum aller ganzzahligen Folgen nicht äqivalent sind.

Meine Ideen:
ich weiß, dass man die äquivalenz zeigen kann mit
$\begin{eqnarray*} a|| ... ||_1 \leq || ... ||_2 \leq b|| ... ||_1 \end{eqnarray*}$

allerdings komme ich nicht darauf, wie ich zeige, dass es keine solchen a,b > 0 gibt.
kann mir da jemand einen tipp geben?

08.11.2012, 08:54

Mazze

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Zitat:

auf X, dem Raum aller ganzzahligen Folgen nicht äqivalent sind.

Gibt es nicht noch eine weitere Einschränkung? Ansonsten wären die Normen nicht für alle Folgen definiert.

08.11.2012, 09:00

RavenOnJ

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RE: zwei normen nicht äquivalent im folgenraum

Zitat:

Original von puff

$\begin{eqnarray*} || (x_n) ||_1 = \sum\limits_{j=1}^\infty n | x_j | <br /> || (x_n) ||_2 = (\sum\limits_{j=1}^\infty n | x_j |^2 )^1/2 \end{eqnarray*}$

Du bist dir bei dem n in den Summen sicher? Normalerweise steht da kein n.

Gruß
Peter

08.11.2012, 12:28

puff

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RE: zwei normen nicht äquivalent im folgenraum
hallo,

nein, das n muss natürlich weg. da ist irgendetwas mit der formel schief gelaufen... sorry.
naja, ich habe den folgenraum X aller reelwertigen zahlen mit nur endlich vielen null-termen.
hilft mir das denn weiter?

08.11.2012, 12:52

RavenOnJ

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du meinst, alle $\begin{align*} x_n\in\mathbb{R} \end{align*}$ . Es muss natürlich noch die Bedingung gelten, dass die Norm der Folgen existieren muss, dass die Folgenglieder also schnell genug gegen 0 gehen.

Überleg dir mal eine Folge, für die die Norm $\begin{align*} \|.\|_2 \end{align*}$ definiert ist, die Norm $\begin{align*} \|.\|_1 \end{align*}$ jedoch nicht

Gruß
Peter

09.11.2012, 07:48

puff

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hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher. Könnte ich $\begin{eqnarray*} y_1=(1,0,0,...) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_2=(1,1,0,0,...) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_3=(1,1,1,0,0,...) \end{eqnarray*}$ ,... wählen? Dann ist doch $\begin{eqnarray*} ||(y_n)||_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||(y_n)||_2=(n^2)^1/2 \end{eqnarray*}$ , oder? stimmt das so?

09.11.2012, 08:17

Mazze

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Du sagtes doch :

Zitat:

naja, ich habe den folgenraum X aller reelwertigen zahlen mit nur endlich vielen null-termen.

Damit sind deine Beispielfolgen nicht im Raum X enthalten.

09.11.2012, 08:33

puff

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mist, stimmt, du hast recht. was könnte ich denn dann als beispiel nehmen. ich stehe gerade etwas auf dem schaluch...

09.11.2012, 08:38

Mazze

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Zitat:

was könnte ich denn dann als beispiel nehmen

Denk mal an die klassischen Reihen die Du kennst. Also jene die Eingeführt werden wenn man sich zum ersten mal mit Reihen beschäftigt.

09.11.2012, 08:43

puff

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du mienst so was wie $\begin{eqnarray*} y_1=1, y_2=2, y_3=3,... \end{eqnarray*}$ ? Dann wäre $\begin{eqnarray*} ||(y_n)||_1=1+2+3+... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||(y_n)||=(1+4+9+...)^1/2 \end{eqnarray*}$ .

kann ich das so machen?

09.11.2012, 08:46

Mazze

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Nein, in beiden Fällen existiert die Norm nicht. Wie ich schon sagte denk an die klassischen Reihen. Welche gibts denn da? Also ganz bestimmte die sogar eigene Namen haben.

09.11.2012, 08:51

puff

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ok, ich steh dann wirklich auf dem schlauch.
keine ahnung, geometrische reihen, arithmetische Reihen... so was in der art? aber das was ich vorhin geschrieben hab, das war wenn ihc mich nicht total täusche ne arithmetische reihe...

09.11.2012, 08:52

Mazze

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Wie wärs denn mit der harmonischen Reihe?

09.11.2012, 08:54

EinGast

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RE: zwei normen nicht äquivalent im folgenraum

Zitat:

Original von puff
naja, ich habe den folgenraum X aller reelwertigen zahlen mit nur endlich vielen null-termen.

Sorry für die Störung, aber meinst du hier vielleicht den Raum X aller reellwertigen Folgen mit nur endlich vielen Nicht-null-Termen ?

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