Relationen

08.11.2012, 10:01

Katastrophenmagnet

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Relationen

Meine Frage:
Folgende Relationen sind gegeben:
Nachf:= {(m, n) e N × N | n = m + 1} ,
"größer gleich":= {(m, n) e N × N | m größer gleich n}
und
Mult2 := {(m, n) e N × N | m = 2n}
zwischen N und N.
1. Geben Sie Elemente x, y e N × N an, so dass x in der Relation
"größer gleich" o Nachf -1 o Mult2
liegt und y nicht.
2. Zeigen Sie, daß "größer gleich" o "größer gleich" "Teilmenge von" "größer gleich" gilt.

Ich habe die dementsprechende Vorlesung dazu nicht wirklich verstanden (alleine schon deshalb, weil es unglaublich voll war) und kam noch nicht zum Nacharbeiten... Nun habe ich relativ keinen Plan von dieser Aufgabe! Bitte um ausführliche Aufklärung und Erläuterung, evtl. auch Lösung? Wäre euch sehr dankbar!

o = nach

hab Zeichen ersetzen müssen, da es sonst nicht angenommen werden würde (z.Bsp. größer gleich)

Meine Ideen:
... Leider planlos

08.11.2012, 10:15

lgrizu

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RE: Relationen!
Zunächst einmal kannst du Latex einbinden oder unseren Formeleditor verwenden.

Zitat:

o = nach

Hä? Was soll das bedeuten?

Ich denke, dass $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ die Hintereinanderausführung sein soll, oder?

Ich nenne die Relation "Nachfolger in diesem und den laufenden Posts einmal N, die Relation ">=" nenne ich G und die Relation "Mult2" nenne ich M, das vereinfacht die Sache.

Also gesucht ist zuerst einmal die Relation, die die Hintereinanderausführung $\begin{eqnarray*} G \circ N \circ M \end{eqnarray*}$

kannst du diese Beschreiben?

08.11.2012, 10:29

RavenOnJ

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Schreib ich das mal in Latex:
$\begin{eqnarray*} N := \{(m,n)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N}| n = m+1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G := \{(m,n)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N}| m \geq n\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M := \{(m,n)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N}| m=2n\} \end{eqnarray*}$

1. Geben Sie Elemente $\begin{align*} x, y \in \mathbb{N} \end{align*}$ an, so dass x in der Relation $\begin{align*} G\circ N^{-1} \circ M \end{align*}$ liegt und y nicht.
2. Zeigen Sie, daß $\begin{align*} G\circ G \subset G \end{align*}$ gilt.

Gruß
Peter

08.11.2012, 10:35

lgrizu

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Hups, hab doch tatsächlich die -1 hinter der Relation N übersehen.... Hammer

Hammer

:Schäm:

Aber dazu an den Fragesteller:

Soll

Zitat:

Nachf -1

$\begin{eqnarray*} N^{-1} \end{eqnarray*}$ sein??

08.11.2012, 12:17

Katastrophenmagnet

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Zitat:

Original von lgrizu
Hups, hab doch tatsächlich die -1 hinter der Relation N übersehen.... Hammer

Hammer

:Schäm:

Aber dazu an den Fragesteller:

Soll

Zitat:

Nachf -1

$\begin{eqnarray*} N^{-1} \end{eqnarray*}$ sein??

Ja, verzeiht. Ich habe mich hier wirklich etwas schwer getan mit dem Abtippen. Hammer

Hammer

Danke an Peter, für die richtige Schreibweise, war ein wenig unter Zeitdruck als ich es schrieb (Akku piepste XD)

Muss gestehen, dass mich schon die Angabe ein wenig verwirrte, schon mit dem "größer gleich" Zeichen, das hier dann eine eigene Relation ist?

Und nein, ich kann die Hintereinanderausführung von G o N^-1 o M nicht beschreiben... o__o

08.11.2012, 12:25

lgrizu

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Weißt du denn, wie $\begin{eqnarray*} N^{-1} \end{eqnarray*}$ ausschaut?

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08.11.2012, 17:02

KatastrophenmagnetX

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Nein, ich habe absolut keinen Plan, ich war jetzt eine Vorlesung nicht da, weil ich krank war und in der anderen war es so voll, dass nicht mal in der letzten Reihe oder auf den Treppen was frei war. Könnten Sie daher bitte aufhören mich mit dem Zahnstocher zu pieksen?

Ich will nur eine Erläuterung der Aufgabe und evtl. eine Lösung/einen Lösungsweg....
Ich kann hier auch nicht ewig bleiben um begierig auf die nächste Frage zu warten. Sorry, aber ich will die Aufgabe bis morgen evtl. verstanden haben, sitze gerade über dem Buch und begreife langsam die ersten Bruchsteine und merke wie weit hinten ich bin, nur durch 2 verpasste Vorlesungen.

08.11.2012, 17:35

lgrizu

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Also eine Lösung bekommst du von mir nicht vorgekaut, und Eile zu haben ist meistens schlecht.

Wenn du nach der ersten Antwort online geblieben wärst und deine Aufgabe sorgfältig gestellt hättest kann man die in einer halben Stunde durchsprechen.

Aber du gehst scheinbar davon aus, dass alle darauf warten, dass du wieder online bist um dann deine Fragen zu beantworten, so läuft das nicht.

Deweiteren wird in deinem Script irgendetwas stehen bezüglich Umkehrrelationen.

Die hintereinanderausführung ist eigentlich kein Voodo, betrachte zuerst Relation G, dann Relation N und dann Relation M, was erhälst du?

Und warum ein neuer Benutzername? verwirrt

verwirrt

Welchen möchtest du denn behalten?

08.11.2012, 18:59

KatastrophenmagnetX

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Ich konnte nicht online bleiben, weil ich mit dem Zug erstmal weiter musste^^
Und na ja, ich versuche im Moment mir das Wissen aus ein - zwei Büchern anzueignen.

Ich weiß, dass Eile schlecht ist, und das Skript der Vorlesung sagt nichts über Umkehrfunktionen, das war wohl die letzte Vorlesung, aber da das Skript von Analysis nicht online gestellt wird, und ich keinen erwischte, der es mir kurz ausleihen konnte.. na ja, ungünstige Situation. :/

Der neue Benutzername rührt daher, dass ich mich mit dem anderen nicht einloggen kann. o.0 Vllt habe ich vergessen mich in der Uni am PC abzumelden und es wird daher nicht angenommen. Möchte eig. den anderen behalten.

Hmm, ich weiß nicht so recht, ich denke ich versuche nun erstmal herauszufinden, was eine Umkehrrelation ist. T_T Oder eine Relation...

PS: Danke für deine Hilfe, du musst nicht weiter antworten, sofern es irgendwelche Umstände macht, ich glaub ich werd einfach die Nacht durchlernen, sonst finde ich ja sowieso auch keine Ruhe..^^' Und ich muss das wissen für morgen.

08.11.2012, 19:52

KatastrophenmagnetX

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Ich mache Fortschritte! Ich weiß was eine invese Relation ist, das ist schonmal gut, weiß nun auch, was unter einer "normalen" Relation zu verstehen ist.

Aber G o N^-1oM ist dann ja eine Relation von Relationen, nicht? Na ja, ich schau mal weiter. verwirrt

verwirrt

N beschreibt die Menge aller Zahlenpaare bei der die erste Zahl(m) um eins größer als n ist, wobei die Zahlenpaare umgekehrt werden, da N^-1, oder?
Bei M ist m doppelt so groß wie n.

Und bei G ist m größer gleich n.

Ok, dementsprechend lassen sich unendlich viele Zahlenpaare bilden, da N x N.

Nun muss ich nur noch rausfinden, was es G o N^-1oM auf sich hat. Hammer

Hammer

08.11.2012, 20:14

lgrizu

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Okay, einiges ist schon mal verwertbar.

Das stimmt, die Inverse Relation zu $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ und andersherum.

Nun kann man die einfach hintereinander ausführen, also ineinenander einsetzen.

wir machen das einmal mit Funktionen und betarchten die Hintereinanderausführung von $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=x+1 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} f(x) \circ g(x)=f(g(x)) \end{eqnarray*}$

jetzt setzen wir also für jedes x in f einfach die Funkiotn g ein und erhalten so:

$\begin{eqnarray*} f(g(x))=2 \cdot (x+1)=2x+2 \end{eqnarray*}$

Die Hintereinanderausführung der beiden Relationen M und N wäre also die Relation

$\begin{eqnarray*} M \circ N=\left\{ (a,b):b=2a+2\right\} \end{eqnarray*}$

Kannst du nun vielleicht die Relation $\begin{eqnarray*} N^{-1} \circ M \end{eqnarray*}$ bilden?

08.11.2012, 20:46

KatastrophenmagnetX

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Nun, demnach dass N besagt dass n eins größer m ist (umgekehrt m = n+1)
und M einfach nur m = 2n ist..

N^-1 o M = {(m, n) : m = 2n+1} ?

08.11.2012, 20:56

lgrizu

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Genau, ist richtig.

Nun noch die Relation G von links da dran.

08.11.2012, 21:03

KatastrophenmagnetX

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N^-1 o M = {(m, n) : m = 2n+1}

da dran? verwirrt

verwirrt

G o N^-1 o M = {(m, n) : m = 2n+1 >= n} Hammer

Hammer

Ne, moment..^^ das ist Unsinn..

08.11.2012, 21:10

lgrizu

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So großer Unsinn ist das gar nicht....

Wir haben:

1. $\begin{eqnarray*} x \geq y \end{eqnarray*}$ und 2. $\begin{eqnarray*} x=2y+1 \end{eqnarray*}$ , nun setzen wir, wie wir das für die Funktionen auch gemacht haben 2. in 1. ein und erhalten:

$\begin{eqnarray*} x \geq 2y+1 \end{eqnarray*}$

08.11.2012, 21:23

KatastrophenmagnetX

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Achso, ok. War mir nicht 100% sicher, ob das Ungleichheitszeichen einfach so mit übernommen werden kann, ok.

Nur wie bestimme ich nun x und y? Y soll ja nicht in der Relation liegen. verwirrt

verwirrt

Sprich y ist kleiner als 3? Es gilt ja m >= 2n+1 Somit wäre 3 der kleinstmögliche Wert für m, nicht? Alles darunter, im Bereich der natürlichen Zahlen, gehört nicht zur Relation, oder?

Ich bin anstrengend, ich weiß^^' Das machen zum Teil wohl die Antibiotika.

08.11.2012, 21:49

lgrizu

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Dein Ungleiheitszeichen war auch falsch herum, aber ansonsten alles richtig.

Wir haben nun die Relation R mit

$\begin{eqnarray*} R:= \left\{(m,n): m \geq 2n+1 \right\} \end{eqnarray*}$

Deine Überlegung ist richtig, für y=1 kann x=3 sein, also ist zum Beispiel ein Element der Relation (3,1).

Es ist auch richtig, dass m keinen Wert annehmen kann, der kleiner ist als 3.

Das hilft, ein Tupel zu finden, das nicht in der Relation liegt.

08.11.2012, 22:40

KatastrophenmagnetX

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Man muss also nur ein beliebiges Zahlenpaar finden, bei welchem x, in der Relation liegt, y aber nicht.

(m=x, n=y)

x>=2y+1

Beispiele die in der Relation liegen:

(1,0) (3,1), (4,1) (-> oo,1), (5,2), (6,2),... (8,3), (9,3) usw.

Natürlich könnte ich nun Paare aufzählen, die nicht in der Relation liegen, aber ich bin nicht sicher... Ich soll x und y so bestimmen, dass x zwar in der Relation liegt, y aber nicht.

Ein Zahlenpaar bei dem die x-Koordinate zutrifft, die y-Koordinate aber nicht?

Klingt erstmal nach Unsinn. verwirrt

verwirrt

Ich habe lediglich einen x-Bereich für den y nicht vorhanden ist (x = 1 , x = 2)

(2; 0,5)?

0,5 würde ja nicht in der Relation liegen, da N x N...

08.11.2012, 23:05

lgrizu

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Du scheinst etwas noch nicht verstanden zu haben, die beiden Zahlen des Paares (m,n) , das ich zwischendurch um den Zusammenhang zu Funktionen herzustellen (x,y) genannt habe gehören als Paar zu der Relation.

Ein Element x, das du nach Aufgabenstellung finden sollst, das in der Relation liegt ist also ein Paar (m,n), ebenso das y.

Jetzt sollst du ein Paar x=(a,b) finden, das in der Relation liegt und ein Paar y=(c,d), das nicht in der Relation liegt.

Beispiele für Paare, die in der Relation liegen hast du ja genügend, dein Beispiel (2; 0,5) ist kein Element aus INxIN, da 0,5 keine natürliche Zahl ist.

Da die Relation nicht symmetrisch ist kann man auch einfach ein Element aus der Umkehrrelation nehmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Ein Zahlenpaar bei dem die x-Koordinate zutrifft, die y-Koordinate aber nicht?

Klingt erstmal nach Unsinn. verwirrt

...Und genau das wäre es auch, Unsinn Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.11.2012, 23:25

KatastrophenmagnetX

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Zitat:

Original von lgrizu
Du scheinst etwas noch nicht verstanden zu haben, die beiden Zahlen des Paares (m,n) , das ich zwischendurch um den Zusammenhang zu Funktionen herzustellen (x,y) genannt habe gehören als Paar zu der Relation.

Ein Element x, das du nach Aufgabenstellung finden sollst, das in der Relation liegt ist also ein Paar (m,n), ebenso das y.

Jetzt sollst du ein Paar x=(a,b) finden, das in der Relation liegt und ein Paar y=(c,d), das nicht in der Relation liegt.

Beispiele für Paare, die in der Relation liegen hast du ja genügend, dein Beispiel (2; 0,5) ist kein Element aus INxIN, da 0,5 keine natürliche Zahl ist.

Da die Relation nicht symmetrisch ist kann man auch einfach ein Element aus der Umkehrrelation nehmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das macht definitv mehr Sinn! Big Laugh

Big Laugh

Dann wären mögliche y ( da das Ungleichheitszeichen deiner Aussage nach, dann ja umgekehrt werden kann):

(0,1),(1,1),(2,1),(3,1), (0,2), ...~

Wäre damit die Aufgabe dann gelöst? Wahrscheinlich noch fein säuberlich und geordnet niederschreiben und dann ist die Aufgabe durch.^^

Yay^^

Nur eines noch bitte, wie zeige ich, dass G o G eine (nicht echte! Angabenzeichen in vorherigen Beiträgen falsch) Teilmenge von G ist?

Ich meine, G in G einsetzen.. na ja..~

09.11.2012, 09:10

lgrizu

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Zitat:

Original von KatastrophenmagnetX
(0,1),(1,1),(2,1),(3,1), (0,2), ...~

Wäre damit die Aufgabe dann gelöst? Wahrscheinlich noch fein säuberlich und geordnet niederschreiben und dann ist die Aufgabe durch.^^

Genau.

Zitat:

Original von KatastrophenmagnetX

Nur eines noch bitte, wie zeige ich, dass G o G eine (nicht echte! Angabenzeichen in vorherigen Beiträgen falsch) Teilmenge von G ist?

Ich meine, G in G einsetzen.. na ja..~

Im Prinzip ist das doch das selbe, was wir die ganze Zeit bereits gemacht haben:

Betrachte:

(a,b) aus G und (b,c) aus G, es gilt $\begin{eqnarray*} a \geq b \geq c \end{eqnarray*}$ , welche Relation erhält man also?

09.11.2012, 09:54

Katastrophenmagnet

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Zitat:

Original von lgrizu

Im Prinzip ist das doch das selbe, was wir die ganze Zeit bereits gemacht haben:

Betrachte:

(a,b) aus G und (b,c) aus G, es gilt $\begin{eqnarray*} a \geq b \geq c \end{eqnarray*}$ , welche Relation erhält man also?

Ah, also m>=n>=m', somit gilt auch m >=m' (Ich hänge einfach an m, n)
Also ist das dann G o G? Und dies ist dann eine Teilmenge von G, da eben die Zahlenpaare auch in G vorkommen, schließlich gilt auch hier, dass die erste Koordinate größer ist als die zweite.

Also hat man G in G eingesetzt in dem man m >=n .. Hm, ich hätte nun n<=m geformt und wäre dann auf m>=n <= m' gekommen...

Mir ist nachvollziehbar, dass a>=b>=c ist, aber nicht, wie ich davon auf ein Zahlen>paar< komme und das aus m=>n erhalte, wenn man die Relation durch 2einsetzen2 bildet. Ich schätze ich hab da #nen Denkfehler.
Das neue Zahlenpaar wäre dann aber wohl (a, c)?

09.11.2012, 09:58

lgrizu

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Genau, das neue Zahlenpaar ist (a,c) Freude

Freude

09.11.2012, 10:36

Katastrophenmagnet

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Ok, vielen, lieben Dank! Habe wirklich einiges dazugelernt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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